Demostrar que $f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Question

Tengo que demostrar que si una función $f$ es diferenciable en $(a,b)$ entonces \begin {align*} f'(x) = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end {align*}

Utilizando el hecho de que $f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ escribí mi prueba de la siguiente manera:

\begin {align*} \lim\limits_ {h \rightarrow 0}f(x+h) - 2f(x) = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} - f(x-h) \\ \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)}{2h} - \dfrac {f(x)}{h} = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {-f(x-h)}{2h} \\ \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)}{h} - \dfrac {f(x)}{h} = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)}{2h} - \dfrac {f(x-h)}{2h} \\ \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end {align*}

Sin embargo, creo que en realidad es incorrecto, porque cuando divido por $2h$ Estoy haciendo que el límite sea potencialmente indefinido. ¿Cómo puedo corregir mi prueba?

Answer 1

\begin {align*} f'(x) = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)-f(x)}{h} \end {align*} pero también \begin {align*} f'(x) = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x)-f(x-h)}{h} \end {align*} sumadlos y divididlos por 2 para obtener

\begin {align*} f'(x) = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \frac { \dfrac {f(x+h)-f(x)}{h} + \dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}2 = \lim\limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end {align*}

Answer 2

$$ f(x+h) = f(x)+f'(x)h + o(|h|) $$ junto con: $$ f(x-h) = f(x)-f'(x)h + o(|h|) $$ da: $$ f(x+h)-f(x-h) = 2h\cdot f'(x) + o(|h|).$$

Answer 3

No se puede simplemente dividir por $h$ de ninguna parte, no es correcto. Considere la posibilidad de dividir $$ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{f(x+h)-f(x)+f(x)-f(x-h)}{2h}= \frac12\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}\right). $$ Ambos términos se dirigen a $f'(x)$ como $h\to 0$ .

Answer 4

Desde $f$ es diferenciable, podemos utilizar la regla de l'Hopitals:

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-(-1)f'(x-h)}{2}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)+f'(x-h)}{2}=\frac{2f'(x)}{2}=f'(x).$$