¿Cuál es el término general de $a_{n+1}=\frac{2a_n-1}{5a_n-1} \ , \ \ a_1=1$?

Question

Yo he luchado para resolver este ejercicio

$$a_{n+1}=\frac{2a_n-1}{5a_n-1}\ , \ \ a_1=1$$

$$b_{n+1}=(5a_n-1)b_n \ , \ \ b_1=1$$

Encontrar $b_{\ 40}$.

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Pensé 'toma inversa' será útil, pero no todavía... :-(

$\color{red}{01.}$ ¿Cómo puedo encontrar a $b_{\ 40}$?

$\color{red}{02.}$ ¿Cómo puedo encontrar el término general de $a_n$, $b_n$?

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Gracias por su atención a este asunto.

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Answer 1

ya que $$b_{n+1}=(5a_{n}-1)b_{n}\Longrightarrow a_{n}=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}+1\right)$ $ en $$a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}-1}{5a_{n}-1}\Longrightarrow \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{b_{n+2}}{b_{n+1}}+1\right)=\dfrac{\frac{2}{5}\left(\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}+1\right)-1}{\frac{b_{n+1}}{b_{n}}}$ $ $$\Longrightarrow \dfrac{b_{n+2}+b_{n+1}}{5b_{n+1}}=\dfrac{\frac{2}{5}b_{n+1}+\frac{2}{5}b_{n}-b_{n}}{b_{n+1}}$ $ $$\Longrightarrow b_{n+2}+b_{n+1}=2b_{n+1}-3b_{n}$ $ $$\Longrightarrow b_{n+2}=b_{n+1}-3b_{n},b_{1}=1,b_{2}=(5a_{1}-1)b_{1}=4$ $ la correspondiente ecuación característica es $$r^2=r-3\Longrightarrow r=\dfrac{1\pm\sqrt{11}i}{2}$ $ % que $$b_{n}=A\left(\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2}\right)^n+B\left(\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\right)^n$$ desde $b_{1}=1,b_{2}=4$ así que tenemos $$ \begin{cases} A\left(\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2}\right)+B\left(\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\right)=1\\ A\left(\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2}\right)^2+B\left(\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\right)^2=4 \end{casos} $$ $$ \Longrightarrow\begin{cases} 3A+B\left(\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\right)^2=\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\\ A\left(\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2}\right)^2+3B=\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2} \end{casos} \Longrightarrow\begin{cases} A=\dfrac{7+\sqrt{11}i}{\sqrt{11}i-11}\\ B=\dfrac{\sqrt{11}i-7}{11+\sqrt{11}i} \end{casos} $$ así $$b_{n}=\dfrac{7+\sqrt{11}i}{\sqrt{11}i-11}\cdot\left(\dfrac{1+\sqrt{11}i}{2}\right)^n+\dfrac{\sqrt{11}i-7}{11+\sqrt{11}i}\cdot\left(\dfrac{1-\sqrt{11}i}{2}\right)^n$ $

Answer 2

Esta es una respuesta parcial:

son de los valores propios de $A = \pmatrix{2 & -1\\5&-1}$ $\lambda_{1,2} = \dfrac{1}{2} \pm i\dfrac{\sqrt{11}}{2}=\sqrt 3(\cos t \pm i\sin t)$ y los vectores propios correspondientes son $u_{1,2}=\pmatrix{2\\3\mp i\sqrt{11}}$

que $a, b, c$ ser números complejos tales que $z = au_1 + bu_2 = a \pmatrix{2\\3 -i\sqrt{11}} + b \pmatrix{2\\3 + i\sqrt{11}} = 2c\pmatrix{1\\1}$

Necesitamos $a + b = c, 3a + 3b +i\sqrt{11}(b-a)=2c$ que significa

$i\sqrt{11}(a-b) = c, a + b = c$ $c = 2\sqrt{11}, a = \sqrt{11} - i, b = \sqrt{11} + i$ podemos elegir

$\begin{align} A^k z &= A^k(au_1 +bu_2) = a\lambda_1^ku_1+b \lambda_2^k u_2 \\ & =3^{k/3} \{ a(\cos kt + i \sin kt)u_1 + b(\cos kt - i \sin kt)u_2 \}\\ & =3^{k/3} \pmatrix{2(a+b)\cos kt + 2(a-b)i \sin kt)\\ (a+b)(3\cos kt + \sqrt{11} \sin kt+i(a-b)(3\sin kt -\sqrt{11}\cos kt)} \\ & = 3^{k/3} \pmatrix{4(\sqrt{11}\cos kt + \sin kt)\\ 2\sqrt{11}(3\cos kt + \sqrt{11} \sin kt)+2(3\sin kt -\sqrt{11}\cos kt) } \\ &=3^{k/3} \pmatrix{4(\sqrt{11}\cos kt + \sin kt)\\ 4\sqrt{11}\cos kt + 28 \sin kt)} \\ \end {Alinee el} $

así $$a_k = \dfrac{\sqrt{11}\cos kt + \sin kt}{\sqrt{11}\cos kt + 7 \sin kt} $ $