Integral - utilizando la sustitución de Euler

Question

He intentado resolver una simple Integral con sustitución de Euler varias veces, pero no encuentro donde me equivoco. La integral es (+ la respuesta dada aquí, también):

$$\int\frac{1}{x\sqrt{x^2+x+1}} dx=\log(x)-\log(2\sqrt{x^2+x+1}+x+2)+\text{ constant}$$

El problema es que no puedo obtener este resultado. Abajo está mi solución del problema. Lo he comprobado muchas veces, debe haber algo muy obvio que se me escapa:

( imagen original )

Sustitución de Euler

$\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}$

Dejemos que $\sqrt{x^2+x+1}=t-x$ .

$x^2+x+1=t^2-2xt+x^2$

$x(1+2t)=t^2-1\implies x=\dfrac{t^2-1}{1+2t}$

$dx=\left(\dfrac{t^2-1}{1+2t}\right)'dt=\dfrac{2t(1+2t)-(t^2-1)2}{(1+2t)^2}=\dfrac{2t+4t^2-2t^2+2}{(1+2t)^2}=\dfrac{2(t^2+t+1)}{(1+2t)^2}$

$\sqrt{x^2+x+1}=t-x=t-\dfrac{t^2-1}{1+2t}=\dfrac{t^2+t+1}{1+2t}$

$\implies\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}=2\int\frac{\frac{t^2+t+1}{(1+2t)^2}\;dt}{\frac{t^2-1}{1+2t}\cdot\frac{t^2+t+1}{1+2t}}=2\int \frac{1}{t^2-1}\,dt$

$\dfrac{1}{t^2-1}=\dfrac{1}{(t+1)(t-1)}=\dfrac{A}{t+1}+\dfrac{B}{t-1}\implies \begin{eqnarray}&&At-A+Bt+B=1\\&&A+B=0\implies A=-B\\ &&B-A=1\implies B=\frac{1}{2},A=-\frac{1}{2}\end{eqnarray}$

$\implies \displaystyle 2\int \frac{1}{2}\frac{1}{2t-1}\,dt-2\int\frac{1}{2}\frac{1}{t+1}\,dt=\int\frac{1}{t-1}\,dt-\int\frac{1}{t+1}\,dt=$

$=\ln|t-1|-\ln|t+1|=\ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|$

$t-x=\sqrt{x^2+x+1}\implies t=\sqrt{x^2+x+1}+x$

$\implies \ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|=\ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}+x-1}{\sqrt{x^2+x+1}+x+1}\right|$

Agradeceré cualquier ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Parece que está bien. En tu expresión, multiplica la parte superior e inferior de la cosa dentro del tronco por $\sqrt{x^2+x+1}-(x-1)$ .

Answer 2

Lo que ha hecho es correcto. Todo lo que tienes que hacer es reescribirlo de una forma diferente. $$\begin{align} \ln \left( \sqrt{x^2+x+1} + x - 1\right) & = \ln \left( \dfrac{\left(\sqrt{x^2+x+1} + x - 1 \right) \left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right)}{\left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right)}\right)\\ & = \ln \left(\left(x^2 + x + 1 - (x^2 - 2x + 1) \right) \right) - \ln \left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right)\\ &= \ln(x) - \ln \left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right) \end{align}$$ Por lo tanto, $$\begin{align} \ln \left( \dfrac{\sqrt{x^2+x+1} + x - 1}{\sqrt{x^2+x+1} + x + 1}\right) & = \ln \left( \sqrt{x^2+x+1} + x - 1\right) - \ln \left(\sqrt{x^2+x+1} + x + 1 \right)\\ & = \ln(x) - \ln \left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right) -\ln \left(\sqrt{x^2+x+1} + x + 1 \right)\\ & = \ln(x) - \left(\ln \left(\sqrt{x^2+x+1} - x + 1 \right) +\ln \left(\sqrt{x^2+x+1} + x + 1 \right) \right)\\ & = \ln(x) - \ln \left( \left(\sqrt{x^2+x+1}+1 \right)^2 - x^2\right)\\ & = \ln(x) - \ln \left( x^2 + x + 1 + 1 +2 \sqrt{x^2+x+1} - x^2\right)\\ & = \ln(x) - \ln \left( 2 \sqrt{x^2+x+1} + x + 2\right) \end{align}$$

Answer 3

Puede utilizar la sustitución x=1/t, o la sustitución de Euler \sqrt {x^2+x+1}=tx-1