Si usted está o no permitido incluir una partícula-número-la conservación de los términos en su Hamiltoniano no tiene nada que ver (en el nivel de matemáticas) con el hecho de que su sistema es relativista o no - tiene que ver con lo que el espacio de Hilbert que está utilizando. Si su espacio de Hilbert toma la forma $\mathcal{H} = \otimes_{i=1}^n \mathcal{H}_1$ donde $H_1$ es de un solo cuerpo, el espacio de Hilbert (por ejemplo, el espacio de $L^2$norma de funciones complejas en $\mathbb{R}^d$), a continuación, sólo se puede describir los estados con exactamente $n$ de las partículas. Por lo tanto un término como $a^4$ ni siquiera es un operador lineal en este espacio de Hilbert (porque te saca del espacio de Hilbert), por lo que no tendría ningún sentido para incluir en su Hamiltonianos, que debe ser un operador lineal sobre el espacio de Hilbert.
Por otro lado, si su espacio de Hilbert, dicen, toma la forma $\mathcal{H} = \oplus_{n=0}^\infty (\otimes_{i=1}^n \mathcal{H}_1)$, a continuación, contiene los diferentes "sectores", cada uno de los cuales consta de un número definido de partículas. En este espacio de Hilbert, un término como $aaaa$ tiene perfecto sentido - se necesita un estado en el $n$-partícula sector de la $n-4$-de las partículas del sector. Todo esto es igualmente cierto si o no que su sistema es relativista.
Eso es todo de matemáticas, ahora aquí está la física. Fundamental de las partículas con masa $m$ sólo puede ser creada o destruida en los procesos que involucran energías mayor que $m c^2$ - escalas que son comunes en relativista situaciones. Así que, empíricamente, la partícula elemental número de cambios todo el tiempo en la alta energía de las situaciones. Así que un fijo de partículas-número de espacio de Hilbert simplemente no es lo suficientemente potente como para describir con precisión física de alta energía.
Por otro lado, si usted está trabajando con un $n$-cuerpo nonrelativistic sistema donde $n$ es razonablemente pequeño (como, por ejemplo, cinco), entonces usted puede describir el sistema utilizando la costumbre de muchos cuerpos en el espacio de Hilbert $(\mathbb{R}^{d})^n$. Dado que el sistema es nonrelativistic, el número de partículas no van a cambiar, así que usted puede conseguir lejos con el solo uso de un fijo de partículas espacio de Hilbert.
Si usted desea abordar una verdadera muchos cuerpos nonrelativistic condensada de la materia del sistema, donde $n \sim 10^{23}$, entonces el número de partículas se conserva, pero el espacio de Hilbert será completamente intractably gigantesco. Así que en la práctica se limita a la menor de unos estados excitados que sólo tiene un par de quasiparticles, y trabajar en elquasiparticle espacio de Hilbert (donde ahora "muchos" significa "más de uno, pero no es un gran número"). Sin embargo, empíricamente, quasiparticle número puede cambiar en muchos de los condensados de la materia de sistemas (en particular la mayoría de los superconductores), por lo que de nuevo la necesidad de trabajar en el indefinido-partícula-número de espacio de Hilbert.
