El clásico de poisson soporte con el generador de cualquier transformación da la infinitesimal evolución con respecto a la transformación. El familiar
$$ \partial_t f = \{H,f\}$$
no significa nada más que el tiempo de evolución de cualquier observable está dada por su corchete de Poisson con el Hamiltoniano, que es el generador de la traducción en tiempo. Más en general, dado cualquier elemento $g$ de la Mentira álgebra de las características observables en el espacio de fase, el infinitesimal evolución en virtud de la transformación que se genera (parametrizadas por un abstracto "ángulo" $\phi$) está dada por
$$ \partial_\phi f = \{g,f\}$$
Lo que se quiere decir con esto es que cada observable $f$ da lugar (por Mentira integración) a un symplectomorphism $\mathrm{exp}(\phi f)$ sobre el espacio de fase (ya que la verdadera Mentira de la integración de características observables de los proyectos hacia abajo surjectively en el symplectomorphisms). Más precisamente, la declaración anterior, por tanto, se lee
$$ \partial_\phi( f \circ \mathrm{exp}(\phi g))\rvert_{\phi = 0} = \{g,f\}$$
de modo que la fuga de Poisson soporte implica $f \circ \mathrm{exp}(\phi g) = f$, es decir, la invariancia de la observables bajo la inducida por symplectomorphism.
Por lo tanto, si el corchete de Poisson de $f$ $g$ se desvanece, lo que significa que describen una transformación infinitesimal que es una simetría de la otra.
Por ejemplo, un observable es invariante bajo de rotación si su corchete de Poisson con todos los $L^i = \epsilon^{ijk}x^jp^k$ (componentes de $\vec L = \vec x \times \vec p$) se desvanece.
Para$x$$p$, la no-desaparición de $\{x,p\}$ significa que la más trivial de la perspectiva de que la $x$ no es invariante bajo las traducciones generadas por el impulso.
Dato divertido: se pregunta cuál es el real de la Mentira de la integración de estas simetrías infinitesimales podría ser que los lleva directamente a la quantomorphism grupo, y es un punto de partida natural para geométrica de cuantización, como se discutió en esta respuesta.
Respondiendo a la tangencial de la pregunta en un comentario:
Teniendo en cuenta el invariante bajo la generación de la idea, así que al tratar de aplicar el teorema de Noether, uno sólo tiene que aplicar el corchete de Poisson de la Lagrangiana (por ejemplo) con $x$, y si se desvanece el momentum se conserva de ese sistema?
No, significa que el "Lagrange" (realmente no se puede tomar el Lagrangiano, porque no es una función en el espacio de fase) es invariante bajo la variación de la inercia del sistema (ya $x$ genera "traducciones" en el momento). El Hamiltoniano equivalente del teorema de Noether es simplemente que $f$ se conserva si y sólo si
$$ \{H,f\} = 0$$
puesto que significa la conservación de la invariancia bajo tiempo de evolución.
