Sean X ser un múltiple diferenciable compactado real orientable. ¿Es la homología (co) de X generada por las clases fundamentales de subvariedades orientados? ¿Y si no, lo que se conoce sobre el subgrupo generado?
Respuestas
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Ryan Ahearn
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Esta es una respuesta a Alon del comentario, pero es demasiado largo para un comentario y es probablemente lo suficientemente interesante como para ser una respuesta.
He aquí un ejemplo de Thom da de una homología de clase que no es realizado por un submanifold: dejar que $X=S^7/\mathbb Z_3$, con $\mathbb Z_3$ actuando por las rotaciones, y $Y=X \times X$.
Entonces $H^1(X;\mathbb Z_3)=H^2(X;\mathbb Z_3)=\mathbb Z_3$ (y que están relacionados por un Bockstein); que $u$ a generar $H^1$ y $v=\beta u$ ser el correspondiente generador de $H^2$. Entonces se puede demostrar que la clase $u \otimes vu^2 - v \otimes u^3 \H^7(Y;Z_3)$ es en realidad integral (es decir, en $H^7(Y;Z)$), y su Poincaré doble en $H_7$ no puede ser realizado por un submanifold (de hecho, no puede ser realizado por cualquier mapa de un colector cerrado a $Y$, el cual no será necesario la inclusión de un submanifold). Este es un ejemplo natural a tener en cuenta porque el primer obstáculo para las clases que se dio cuenta de por submanifolds trata de un mod 3 Steenrod operación, y estos son fáciles de calcular en $Y$ porque $X$ es el 7-esqueleto de un $K(\mathbb Z_3,1)$. Tenga en cuenta que la clase en cuestión es de 3-torsión, por lo que trivialmente 3 veces es realizado por un submanifold.
René Thom respondido a esto en la sección II de "Quelques propriétés globales des variétés différentiables." Cada clase $x$ en $H_r(X; \mathbb Z)$ tiene algún múltiplo de $nx$, que es la clase fundamental de un submanifold, por lo que la homología es al menos racionalmente generados por estas clases fundamentales.
Sección II.11 obras de algunos casos concretos: por ejemplo, cada clase de homología de un colector de dimensión en la mayoría de las 8 de realización de esta manera, pero esto no es cierto para los mayores dimensiones de los colectores y la respuesta en general tiene que ver con Steenrod operaciones.
