El análisis de un cuarto de grado del polinomio

Question

Deje $a,b$ $c$ ser números reales. Demostrar que el cuarto grado del polinomio en $x$
$acx^4+b(a+c)x^3+(a^2+b^2+c^2)x^2+b(a+c)x+ac$ tiene 4 raíces reales o 4 raíces complejas.
Nunca he resuelto un cuarto de grado del polinomio y no saben las condiciones para que el real/raíces complejas. ¿Cómo nos acercamos a este problema?

Answer 1

Observe que la expresión dada,

$$acx^4+b(a+c)x^3+(a^2+b^2+c^2)x^2+b(a+c)x+ac = 0$$

pueden ser factorizados en (ver más abajo para la derivación):

$$(ax^2 + bx + c)(cx^2 + bx + a) = 0$$

El discriminante para cada uno es el mismo, $b^2 - 4ac$.

Si esta comunes discriminante es cero, o más, entonces las raíces de ambos $ax^2 + bx + c = 0$ $cx^2 + bx + a = 0$ son reales (posible con la multiplicidad $2$). Si no, todos ellos son imaginarios. Por lo tanto las raíces son reales o todos imaginario.

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He aquí cómo hice la factorización:

$$acx^4+b(a+c)x^3+(a^2+b^2+c^2)x^2+b(a+c)x+ac$$ $$=acx^4 + abx^3 + bcx^3 + a^2x^2 + b^2x^2 + c^2x^2 + abx + bcx + ac$$ $$=(acx^4 + abx^3 + a^2x^2) + (bcx^3 + b^2x^2 + abx) + (c^2x^2 + bcx + ac)$$ $$=ax^2(cx^2 + bx + a) + bx(cx^2 + bx + a) + c(cx^2 + bx + a)$$ $$=(ax^2 + bx + c)(cx^2 + bx + a)$$