Gráfico de todas partes continuo no-función derivable

Question

W. Rudin da el siguiente ejemplo se $f(x)$.

Deje $\varphi(x) = |x|$ $[-1,1]$ y ampliar periódicamente a toda la recta real con período de $2$.

Ahora definir

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n\varphi(4^nx).$$

¿Cómo funciona la gráfica de esta función, o de sus sucesivas aproximaciones, parecen? Sólo para tener una idea de cómo continuidad sucede, pero no la diferenciabilidad.

Answer 1

La imagen a tener en cuenta es comenzar con la V, y en cada paso de la approximaton añadir un conjunto de $\frac{3}{4}$-de-la-anterior-tamaño más pequeño V. El $\frac{3}{4}$ es sólo para darle la convergencia, y el $4^n$ es dar más y más V de cerca a cada número real.

Pero esto podría llevar a creer que la forma es muy irregular, algo así como el clásico de Weierstrass sin función derivable:

Pero eso no es realmente cierto. De hecho, las sucesivas incorporaciones casi 'suave' de la 'puntas' de la mayoría de los lados de la V. En esta página del blog (no es mi blog, pero en lugar divisbyzero), hay una imagen de una esencialmente la misma función:

Esto es en realidad la función de $\displaystyle \sum \left(\frac{1}{2}\right)^n \varphi (2^n x)$, pero creo que podría ver la similitud. En su función, la función sería un poco más grande ($3/4 > 1/2$) y, entonces, las crestas y depresiones sería un poco más profundo, etc.

Un poco acerca de la $1/2$ función es que el blogger de DivisionByZero (el blog he enlazado más arriba) también escribió un applet ilustra las aproximaciones sucesivas de la función.

Answer 2

mixedmath ya ha explicado que la mayoría de la matemática en su respuesta. Aquí, voy a proporcionar Mathematica código que la gente puede jugar con:

φ[x_] := TriangleWave[{0, 1}, -x/2 - 1/4];
rudin[x_, n_Integer] := Sum[(3/4)^k φ[x 4^k], {k, 0, n}];

Animate[Plot[rudin[x, n], {x, 0, 2}, Axes -> None, Frame -> True, 
  MaxRecursion -> 4, PlotLabel -> StringForm["n=`1`", n], 
  PlotPoints -> 105, PlotRange -> {0, 7/2}], {n, 1, 6}]

He decidido no incluir las parcelas de $n > 6$; en ese punto, la función ya se ve lo suficientemente complicado para ser indistinguible de la $n=6$ suma parcial.