Como todos sabemos El cierre algebraico suele tener un grado infinito.
También, este muestra la condición necesaria y suficiente para que una extensión de Galois sea una extensión finita de campos.
Sin embargo, podemos querer caracterizar los casos del caso en que la extensión no es Galois, que es en realidad mi pregunta.
Y esta pregunta está relacionada con esta pregunta .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Permítanme resumir los resultados de $\S 12.4$ de mis notas. (Esto implica explicitar algunas cosas que quedaron como "ejercicios", pero me parece bien).
Dejemos que $K$ sea un campo cualquiera, y que $K^{\operatorname{sep}}$ sea cualquier cierre separable y que $\overline{K}$ sea cualquier cierre algebraico que contenga $K^{\operatorname{sep}}$ . Entonces:
1) Supongamos primero que $K = K^{\operatorname{sep}}$ es decir, $K$ es separablemente cerrado. Entonces, o bien:
1a) $K$ es algebraicamente cerrado, o
1b) No lo es, es decir, $K$ tiene una característica positiva $p$ y existe $a \in K$ tal que el polinomio $t^p - a$ es irreducible. Entonces $t^{p^n}-a$ es irreducible para todo $n$ Así que $[\overline{K}:K]$ es infinito. (Para ello, véase el lema 32 en $\S 6.1$ .)
2) Supongamos que $K$ no está cerrada por separado, por lo que $G = \operatorname{Aut}(K^{\operatorname{sep}}/K)$ no es trivial. Entonces, por el teorema de Artin-Schreier, o bien
2a) $\# G = 2$ , en cuyo caso $K$ es formalmente real y $K(\sqrt{-1})$ es algebraicamente cerrado, o
2b) $\# G > 2$ , en cuyo caso $G$ es infinito, lo que implica que $[\overline{K}:K]$ es infinito.
Obsérvese que algunos de los ejercicios esbozan otras extensiones del Teorema de Artin-Schreier, es decir, si $\overline{K}/K$ es "pequeño" en otros aspectos entonces $K$ es real cerrado o algebraicamente cerrado.
Matt Dawdy
Puntos
5479
El Teorema de Artin-Schreier afirma que, si el campo $k$ no es algebraicamente cerrado y $[\bar{k} : k]$ es finito, entonces de hecho es igual a $2$ y $\bar{k} = k[i]$ y $k$ es real cerrado . Así que supongo que la condición que buscas es: si y sólo si $k$ no es algebraicamente cerrado y tampoco es real cerrado.
Estoy respondiendo a la pregunta del título, no a la del cuerpo. La pregunta del cuerpo no es equivalente a la pregunta del título; la respuesta es que el cierre algebraico es Galois si y sólo si es separable, por lo tanto si y sólo si $k$ es perfecto. Quizá sólo hayas visto la definición de extensión de Galois para extensiones finitas. Esta no es la definición que funciona en la máxima generalidad. La definición que sí funciona en la máxima generalidad es la siguiente:
Definición: Una extensión algebraica $k \to L$ es Galois si el campo fijo de $\text{Aut}_k(L)$ es $k$ .
El cierre separable $k_s$ de $k$ es siempre Galois (de hecho es la máxima extensión Galois de $k$ ), y coincide con el cierre algebraico si y sólo si $k$ es perfecto.
