Cuántas combinaciones posibles hay en Hua Rong Dao?

Question

Cuántas combinaciones posibles hay en Hua Rong Dao?

Hua Rong Dao es un Chino juego de rompecabezas deslizante, también llamado Hija en una Caja en Japón. Usted puede ver una foto aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hakoiri3.jpg

Y una explicación aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Klotski#Hua_Rong_Dao

El puzzle es un 4x5 cuadrícula con estas piezas

• Cuadrado de 2x2 (1 pieza)
• 1x2 vertical (4 piezas)
• 2x1 horizontal (1 pieza)
• 1x1 cuadrado (4 piezas)

Aunque tradicionalmente cada tipo de pieza tiene diferentes imágenes, se puede tratar cada uno de los 1x2 como idénticos y cada uno de los 1x1 como idénticos.

El objetivo es deslizar alrededor de las piezas (no remover) hasta que el 2x2 "general" que va desde la mitad de la parte superior a la parte inferior del medio (donde puede deslizarse fuera de la frontera).

No estoy interesado en esta cuestión con la solución, pero lo más curioso sobre el número de combinaciones. Ingenuamente, me puede venir para arriba con un límite superior como este

Colocar cada pieza en el tablero, ignorando los solapamientos.

El 2x2 puede ir en cualquiera de 3x4 = 12 plazas
El 2x1 puede ir en cualquiera de 4x4 = 16 plazas
El 1x2 puede ir en cualquiera de 3x5 = 15 plazas
El 1x1 puede ir en cualquiera de 4x5 = 20 plazas

Si coloca las piezas de una en una, restando el utilizado plazas

coloque el 2x2 = 12 opciones
coloque cada uno de los 2x1 = ((16 - 4) * (16 - 6) * (16 - 8) * (16 - 10)) / 4!
coloque el 1x2 = 15 - 6
coloque el 1x1 = (20-14) elegir 4 = 15

multiplicados juntos, esto funciona para 388,800.

Hay alguna manera de que yo podría ser capaz de reducir esta más abajo? Las dos cosas obvias no se toman en cuenta son bloqueados piezas (un 2x1 piezas no encajan en dos separados plazas) y el hecho de que no todas las posibilidades que pueda ser accesible cuando el deslizamiento de la posición de partida.

Actualización: me di cuenta de que el rompecabezas es bilateralmente simétrico, así que si usted acaba de atención sobre las diferencias significativas entre las posiciones, se puede dividir por dos.

Answer 1

Una sencilla búsqueda de los rendimientos de la figura de $4392$ para todos, pero el $1 \times 1$ piedras. El ex rellenar $14$ $20$ plazas, por lo que hay $\binom{6}{4} = 15$ posibilidades de colocar el último. En total, obtenemos $$4392 \times 15 = 65880.$$ todos Estos pueden ser generados, y uno puede, en principio, calcular el número de componentes conectados en el gráfico resultante, donde los bordes corresponden a los movimientos de las piezas.

Edit: Hay 898 diferentes componentes conectados. Hay 25955 configuraciones alcanzables desde el estado inicial.