Descomponer $a = a_1\cdots a_k$ y $a_1 + \dots +a_k = 0$

Question

Problema . Demostrar que en el campo $F, \text{char }F\neq2$ cada elemento $a$ puede descomponerse de la siguiente manera: $a = a_1\cdots a_k$ y $a_1 + \dots +a_k = 0$ .

Intento 1 .

1. Para los campos en los que $x^2 = \pm a$ tiene al menos una solución puedo encontrar esta descomposición directamente (supongamos $x^2 = -a$ tiene solución). Tomemos $a_1 = \sqrt{-a}, a_2=-\sqrt{-a}$ .

2. Pero hay algunos problemas en los campos en los que esta propiedad no se cumple. Por ejemplo $\mathbb{F}(x)-$ funciones de ratioanl. No conozco la descomposición, por ejemplo, para $x$ sobre cualquier campo $\mathbb{F}$ .

Intento 2 . Veamos el campo como el espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ si char $F =0$ y más $\mathbb{Z}_p$ si char $F \neq0$ (denótese en cada caso como $\mathbb{V}$ ). La idea es encontrar un elemento $b$ tal que $-b^2a \in \mathbb{V}$ . Entonces podemos descomponerlo directamente. Pero tampoco parece ser cierto.

Answer 1

Si $a=-1$ toma $a_1=1$ , $a_2=-1$ . De lo contrario, $a+1\neq 0$ para que pueda tomar
$a_1=\frac{a}{a+1}$ , $a_2=\frac{1}{a+1}$ , $a_3=-1$ , $a_4=a+1$ , $a_5=-(a+1)$ .
Tenemos $\sum a_i=0$ mientras que $\prod a_i=a$ .