Dado cualquier secuencia de r.v.s {Xn} s.t. Xn∈L1 todos los n e historia {Fn} Xn∈Fn todos los n. ¿Cómo podemos demostrar que esta secuencia de r.v.s se puede escribir como una suma de un supermartingale y submartingale?
Gracias!
Dado cualquier secuencia de r.v.s {Xn} s.t. Xn∈L1 todos los n e historia {Fn} Xn∈Fn todos los n. ¿Cómo podemos demostrar que esta secuencia de r.v.s se puede escribir como una suma de un supermartingale y submartingale?
Gracias!
Sugerencias:
Definir una secuencia de eventos An:={E[Xn+1|Fn]≥Xn}, y de igual manera definir Bn:=Acn={E[Xn+1|Fn]<Xn}. Tenga en cuenta que An,Bn∈Fn todos los n.
Definir Yn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1AjZn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1Bj,X0:=0. Tenga en cuenta que Xn=Yn+Zn todos los n.
Compruebe que Yn es un supermartingale y Zn es un submartingale, mediante el cálculo de E[Yn+1−Yn|Fn] y lo mismo Z. A la conclusión.
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