Cualquier secuencia de r.v.s $\{X_n\}$ s.t. todos los $X_n\in L^1$ es una suma de un supermartingale y un submartingale

Question

Dado cualquier secuencia de r.v.s $\{X_n\}$ s.t. $X_n\in L^1$ todos los $n$ e historia $\{\mathcal{F_n}\}$ $X_n\in \mathcal{F_n}$ todos los $n$. ¿Cómo podemos demostrar que esta secuencia de r.v.s se puede escribir como una suma de un supermartingale y submartingale?

Gracias!

Answer 1

Sugerencias:

1. Definir una secuencia de eventos $A_n: = \big\{E[X_{n+1}|\mathcal F_n] \geq X_n\big\}$, y de igual manera definir $B_n:= A_n^c = \big\{E[X_{n+1}|\mathcal F_n] < X_n \big\}$. Tenga en cuenta que $A_n,B_n \in \mathcal F_n$ todos los $n$.

2. Definir $Y_n: = \sum_{j=0}^{n-1} (X_{j+1}-X_j)1_{A_j}$$Z_n:=\sum_{j=0}^{n-1}(X_{j+1}-X_j)1_{B_j}$,$X_0:=0$. Tenga en cuenta que $X_n=Y_n+Z_n$ todos los $n$.

3. Compruebe que $Y_n$ es un supermartingale y $Z_n$ es un submartingale, mediante el cálculo de $E[Y_{n+1}-Y_n|\mathcal F_n]$ y lo mismo $Z$. A la conclusión.