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Cualquier secuencia de r.v.s {Xn}{Xn} s.t. todos los XnL1XnL1 es una suma de un supermartingale y un submartingale

Dado cualquier secuencia de r.v.s {Xn}{Xn} s.t. XnL1XnL1 todos los nn e historia {Fn}{Fn} XnFnXnFn todos los nn. ¿Cómo podemos demostrar que esta secuencia de r.v.s se puede escribir como una suma de un supermartingale y submartingale?

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Shalop Puntos 4722

Sugerencias:

  1. Definir una secuencia de eventos An:={E[Xn+1|Fn]Xn}An:={E[Xn+1|Fn]Xn}, y de igual manera definir Bn:=Acn={E[Xn+1|Fn]<Xn}Bn:=Acn={E[Xn+1|Fn]<Xn}. Tenga en cuenta que An,BnFnAn,BnFn todos los nn.

  2. Definir Yn:=n1j=0(Xj+1Xj)1AjYn:=n1j=0(Xj+1Xj)1AjZn:=n1j=0(Xj+1Xj)1BjZn:=n1j=0(Xj+1Xj)1Bj,X0:=0X0:=0. Tenga en cuenta que Xn=Yn+Zn todos los n.

  3. Compruebe que Yn es un supermartingale y Zn es un submartingale, mediante el cálculo de E[Yn+1Yn|Fn] y lo mismo Z. A la conclusión.

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