Dado cualquier secuencia de r.v.s {Xn}{Xn} s.t. Xn∈L1Xn∈L1 todos los nn e historia {Fn}{Fn} Xn∈FnXn∈Fn todos los nn. ¿Cómo podemos demostrar que esta secuencia de r.v.s se puede escribir como una suma de un supermartingale y submartingale?
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Respuesta
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Sugerencias:
Definir una secuencia de eventos An:={E[Xn+1|Fn]≥Xn}An:={E[Xn+1|Fn]≥Xn}, y de igual manera definir Bn:=Acn={E[Xn+1|Fn]<Xn}Bn:=Acn={E[Xn+1|Fn]<Xn}. Tenga en cuenta que An,Bn∈FnAn,Bn∈Fn todos los nn.
Definir Yn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1AjYn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1AjZn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1BjZn:=∑n−1j=0(Xj+1−Xj)1Bj,X0:=0X0:=0. Tenga en cuenta que Xn=Yn+Zn todos los n.
Compruebe que Yn es un supermartingale y Zn es un submartingale, mediante el cálculo de E[Yn+1−Yn|Fn] y lo mismo Z. A la conclusión.
