$\kappa\psi (x,X)\leq \psi (x,X)$

Question

El $\kappa$ -pseudocaracteres $\kappa\psi (x,X)$ de un espacio $X$ en un punto $x\in X$ es el menor número cardinal infinito $\tau$ tal que existe una familia $\gamma$ de $\kappa$ -se establece en $X$ tal que $\{x\} = \bigcap\gamma$ .

Para todo grupo topológico tenemos la siguiente desigualdad:

$$\kappa\psi (x,X)\leq \psi (x,X)$$

Pero, ¿qué pasa con los espacios topológicos? ¿Es cierto para todos los espacios topológicos?

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El cierre de cualquier conjunto abierto se llama $\kappa$ - conjunto.

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$ He aquí un contraejemplo de Hausdorff. Sea $$X=\Big(\omega_1\times(\omega+1)\Big)\cup\{p\}\;,$$ donde $p$ es un punto que no está en $\omega_1\times(\omega+1)$ . Nbhds básicos abiertos de $p$ son los conjuntos

$$B(\alpha,n)=\{p\}\cup\{\langle\xi,k\rangle\in\omega_1\times\omega:\xi>\alpha\text{ and }k\ge n\}$$

para $\langle\alpha,n\rangle\in\omega_1\times\omega$ . Claramente $\{p\}=\bigcap_{n\in\omega}B(0,n)$ Así que $\psi(x,X)=\omega$ . Supongamos ahora que $U$ es un nbhd abierto de $p$ . Entonces $p\in B(\alpha,n)\subseteq U$ para algunos $\langle\alpha,n\rangle\in\omega_1\times\omega$ y claramente $$(\alpha,\omega_1)\times\{\omega\}\subseteq\cl B(\alpha,n)\subseteq\cl U\;.$$

Dejemos que $\{\cl U_k:k\in\omega\}$ sea una familia contable de $\kappa$ -conjuntos que contienen $p$ . Para cada $k\in\omega$ hay un par $\langle\alpha_k,n_k\rangle\in\omega_1\times\omega$ tal que $B(\alpha_k,n_k)\subseteq U_k$ . Sea $\alpha=\sup\{\alpha_k:k\in\omega\}$ Entonces

$$(\alpha,\omega_1)\times\{\omega\}\subseteq\bigcap_{k\in\omega}\cl B(\alpha_k,n_k)\subseteq\bigcap_{k\in\omega}\cl U_k\;,$$

y se deduce que $\kappa\psi(x,X)>\omega$ .