Considere la afirmación para cada x que pertenece al conjunto formado por {-1 , -2 } : la raíz cuadrada de x es igual a uno. Por supuesto que es falsa, dado que la raíz cuadrada no está definida sobre nubers negativos que toman valor real. Por tanto, la afirmación contraria debería ser cierta: existe x que pertenece al conjunto {-1 , -2 } tal que la raíz cuadrada de x no es igual a uno. Por tanto, debe ser menor o mayor que uno. Esta afirmación tampoco es cierta. Entonces, ¿podemos concluir que la afirmación no tiene sentido?
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JoshL
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La cuestión aquí tiene que ver con los "términos indefinidos". Supongamos que trabajamos con el campo de los números reales (sin los números complejos no reales). La firma de este campo tiene símbolos para la suma y la multiplicación, la relación de orden $<$ y el signo de igualdad.
Esta firma sí no tienen un símbolo para las raíces cuadradas. Así que la frase "la raíz cuadrada de $-1$ no es igual a $1$ " no tiene ninguna traducción directa al lenguaje formal que nos ocupa. Si cada número tuviera una única raíz cuadrada, podríamos introducir un nuevo símbolo de función $\sqrt{}$ e interpretarlo de manera que $\sqrt{x}$ es siempre una raíz cuadrada de $x$ .
En cambio, todo número real sí tiene un cuadrado, por lo que podríamos añadir una nueva función unaria $S$ tal que $S(x)$ da $x\cdot x$ . No podemos hacerlo con las raíces cuadradas. En el campo de los números reales, no podemos referirnos a $\sqrt{-1}$ , ya que no tenemos ningún símbolo $\sqrt{}$ .
Podríamos traducir la frase "la raíz cuadrada de $-1$ no es igual a $1$ " como "para todos $x$ , si $x^2 = -1$ entonces $x \not =1$ ". Esa nueva afirmación citada puede traducirse directamente al lenguaje de los campos, y es verdadera en el campo de los números reales. Por otro lado, la afirmación "la raíz cuadrada de $-1$ no es igual a $1$ "también puede traducirse como "hay un $x$ con $x^2 = 1$ y $x \not = 1$ ". Esa afirmación es falsa en el campo de los números reales. Así que la traducción que elijamos afectará al valor de verdad.
En general, una oración inglesa que habla de "el" objeto con una propiedad particular hace una suposición existencial de que hay un objeto único con esa propiedad. Cuando esa suposición existencial es correcta, suele ser sencillo traducir la oración inglesa a una oración formal, y la verdad de la oración formal no dependerá de la traducción razonable que utilicemos. Sin embargo, cuando la suposición existencial no se cumple, la traducción exacta que utilicemos puede marcar la diferencia.
Otro enfoque para tratar temas como las raíces cuadradas reales (que no siempre existen) es introducir parcial símbolos de función - símbolos de función que pueden ser indefinidos en ciertas entradas. Este es el tema de la "lógica libre". Pero la lógica de primer orden normal no es una lógica libre: asume que un símbolo de función aplicado a un objeto siempre devuelve un objeto.
Otro enfoque es añadir un nuevo símbolo de función $\sqrt{}$ y definirlo en algún arbitrario manera cuando normalmente no se definiría. El, todo lo que podemos decir es que si $x$ tiene una raíz cuadrada, entonces $\sqrt{x}$ es una raíz cuadrada de $x$ . En ese caso, la afirmación "la raíz cuadrada de $-1$ no es igual a $1$ " dependerá exactamente de cómo asignamos arbitrariamente valores para los números que no tienen raíces cuadradas.
Drew Jolesch
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"...Así que debería ser menos o más de uno". Que (añadido) la conclusión es lo que no es cierto.
Lo que sí es cierto es que la raíz cuadrada de $-1$ , al igual que la raíz cuadrada de $-2$ no es igual a uno (y en este caso, es porque sus raíces cuadradas ni siquiera existen).
Por supuesto que hay son enunciados sin sentido, en el sentido de que los propios enunciados no admiten una asignación de valor de verdad: Por ejemplo
-
"¡Alto!",
-
"¿Es correcta mi prueba?"
-
"Prueba que $\sqrt 2$ es irracional", etc.
No podemos decir nada sobre el valor de verdad de los mandatos, las preguntas o los imperativos. También son problemáticas en este sentido las afirmaciones como "me pregunto si...", "espero que..." y otras similares (que se refieren a estados de ánimo).
Mauro ALLEGRANZA
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Podemos analizar el enunciado con la expresión "la raíz cuadrada de $x$ " según el análisis de Russell de descripción definitiva ver Descripción definitiva .
La forma general de "la única $x$ tal que $\phi(x)$ "se simboliza como $\iota(\phi(x))$ y:
$\psi(\iota x(\phi(x))$ se estipula que es equivalente a $\exists x \forall y ( \phi(y) \leftrightarrow y = x \land \psi(y))$ .
En nuestro ejemplo, tenemos que $\phi(x)$ es "el cuadrado de $x$ es igual a $-1$ " y $\psi(y)$ es " $y$ es igual a $1$ ", por lo que "La raíz cuadrada de $-1$ es igual a $1$ " será : $\iota x(x^2 = -1) = 1$ .
El análisis russelliano, aplicado a la afirmación anterior, es : "La raíz cuadrada de $-1$ es igual a $1$ " dice que algunos $x$ es tal que es la raíz cuadrada de $-1$ y que cualquier $y$ es la raíz cuadrada de $-1$ sólo si $y = x$ y que $x = 1$ :
$\exists x [x^2 = -1 \land \forall y (y^2 = -1 \rightarrow y=x) \land x = 1]$
Esto es falso en el campo real, ya que no se da el caso de que algunos $x$ es tal que $x^2 = -1$ .
La negación de esta frase, es decir, "La raíz cuadrada de $-1$ es no igual a $1$ ", es ambiguo en el lenguaje natural. Puede significar una de dos cosas, dependiendo de dónde coloquemos la negación "no".
En una lectura, podría significar que no hay nadie que sea la raíz cuadrada de $-1$ e igual a $1$ :
$\lnot \exists x [x^2 = -1 \land \forall y (y^2 = -1 \rightarrow y = x) \land x = 1]$ .
En esta desambiguación, la frase es verdadero (ya que efectivamente no hay $x$ que es raíz cuadrada de $-1$ ).
En una segunda lectura, la negación podría interpretarse como algo que se adjunta directamente a $ = 1$ ', de modo que la frase significa que actualmente hay una raíz cuadrada de $-1$ pero que este número no sea $= 1$ :
$ \exists x [x^2 = -1 \land \forall y (y^2 = -1 \rightarrow y = x] \land x \neq 1]$ .
En esta desambiguación, la frase es falso (ya que no hay $x$ que es una raíz cuadrada de $-1$ ).
Así, si "la raíz cuadrada de $-1$ es igual a $1$ " es verdadera o falsa depende de cómo se interprete en el nivel de la forma lógica: si se interpreta que la negación tiene un alcance amplio (como en $\lnot \exists x [... \land x = 1]$ es verdadera, mientras que si la negación se interpreta como de alcance restringido (con el cuantificador existencial de alcance amplio, como en $\exists x [... \land x \neq 1]$ ), es falso. En ninguno de los dos casos carece de valor de verdad.
Así que no tenemos un fallo de la Ley del Medio Excluido: "la raíz cuadrada de $-1$ es igual a $1$ " es falsa, porque no existe la raíz cuadrada actual de $-1$ . La negación de esta afirmación es aquella en la que "no" tiene un amplio alcance. Esta afirmación es verdadera porque no existe nada que sea la raíz cuadrada de $-1$ .
