Los colímites filtrados conmutan con funtores olvidadizos

Question

En muchos casos, los colímites filtrados conmutan con functores olvidadizos a $\mathbf{Set}$ por ejemplo con $\mathbf{CRing} \to \mathbf{Set}$ o $R-\mathbf{Mod} \to \mathbf{Set}$ . ¿Hay alguna forma de mostrarlo?

Estoy principalmente interesado en esto porque se utiliza este hecho para el cálculo de los tallos de una gavilla, y por lo general esto se demuestra diciendo: "compruébalo si no lo crees"

Answer 1

1) Que $T$ sea una mónada sobre una categoría cocompleta $C$ . Es un hecho general y trivial que el functor olvido $\mathsf{Mod}(T) \to C$ conserva todos los colímites que $T$ presveres. En particular, si $T$ preserva los colímites filtrados (se dice entonces que $T$ es finitario ), entonces el functor olvidadizo lo hace. Si $T$ viene dada por una teoría de operaciones finitas, $C$ tiene productos que preservan colímites filtrados en cada variable, entonces $T$ es finitaria.

2) Tallos de gavillas en $X$ conmutan con colímitos porque el functor pedúnculo es adjunto a la izquierda; de hecho viene dado por $i^*$ donde $i : \{x\} \to X$ con adjunto derecho $i_*$ .