Demuestra que $\pi(X, x) = [e_x]$ si $X$ es un espacio topológico finito con la topología discreta.

Question

Demuestra que $\pi(X, x) = [e_x]$ si $X$ es un espacio topológico finito con la topología discreta.

Quiero demostrar esto mostrando que no existe ningún camino $f$ , $\forall x, y \in X$ . Supongamos por contradicción que existe un camino $f: I \mapsto X$ de $x$ a $y$ . Entonces sólo hay un número finito de puntos cuya imagen de $f$ pasa a través de. Por lo tanto, los puntos que $f$ son conjuntos abiertos cuyas imágenes inversas bajo $f$ son conjuntos abiertos disjuntos, propios y no vacíos en $I$ que luego forman una separación en $I$ . Esto contradice que $I$ está conectado. Por lo tanto, no existe ningún $f$ entre distintos puntos de $X$ . Por lo tanto, $\pi(X, x)$ es trivial.

¿Es una prueba legítima? ¿Algún comentario o corrección? ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

La forma más rápida es arreglar cualquier $x \in X$ y mira un bucle, es decir, un mapa continuo $f: [0,1] \to X$ con $f(0) = f(1) = x$ . De ello se desprende que $f([0,1])$ debe estar conectado. Equipando $X$ con la topología discreta dice que cada singleton es abierto. Tenemos $f([0,1]) = \bigcup\limits_{z \in A \subset X} \{z\}$ que sólo se conecta si $A = \{x\}$ es decir, cada bucle es la constante en $x \in X$ .

Answer 2

Su prueba es bastante buena. Sin embargo, hay un par de agujeros en su argumento de contradicción.

En primer lugar, la afirmación "no existe ningún camino $f$ , $\forall x,y \in X$ "es falso, porque si $x=y$ entonces sí existe un camino, concretamente el camino que es constante en $x$ . Así que debería decir en su lugar " $\forall x,y \in X$ , si $x \ne y$ entonces no existe ningún camino $f$ de $x$ a $y$ ".

En segundo lugar, tu argumento de la conectividad tiene una laguna, porque no has justificado la propiedad de los subconjuntos. Debes utilizar el hecho de que $x \ne y$ para justificar que la imagen inversa bajo $f$ de cada punto de $X$ es un subconjunto propio de $I$ .