Problema: Vamos a $a_m$ denotar el número de multigraphs sin bucles en los 4 vértices con $m$ bordes (contando hasta isomorfismo). Encontrar cerrada la fórmula para la potencia de la serie $\sum_0^m a_mx^m$.
- Yo no podía venir para arriba con una fórmula recurrente.
- Sé que podría emplear el del teorema de Burnside. Si yo consideraba $S_4$'s de acción en el conjunto de todos los multigraphs y calcula el número de gráficos fijos por cada una de las $\pi \in S_4$, esto sería fácil, pero la solución sería tedioso dado hay $4!$ elementos en $S_4$. (Ahora esto probablemente podría ser de alguna manera simplificada para analizar sólo los tipos de permutaciones en $S_4$, pero que todavía no es lo que yo quiero.)
- No puedo adivinar la solución de los primeros miembros de las pequeñas $m$. Ni siquiera después de la generalización de este problema a $n$-vértice multigraphs y teniendo en cuenta la secuencia de $a_{n,m}$ y mirando a los valores pequeños.
- Edit: yo también estoy considerando la posibilidad de tomar el 11 sencillos gráficos en los 4 vértices y tratando de obtener multigraphs sumando ellos, pero no puedo hacer que funcione correctamente.
Estoy buscando una sugerencia, no una solución. Idealmente, me gustaría obtener la recurrencia y aplicar funciones de generación de encontrar un cerrado fórmula.
