Probabilidad de encontrar casillas de colores adyacentes en una línea de casillas blancas

Question

Por lo que esta pregunta tiene una pequeña base de ciencias, pero el problema en sí es puramente matemático. Considerar unidimensional fila de cuadrados, algunos son de color blanco, algunos son de color azul. Los cuadros azules representan el agua, y los blancos representan algunos de los demás irrelevante compuesto. Si hay $N$ total plazas y $n$ agua cuadrados, y se le da la concentración de agua en la solución (dicen que es cualquier múltiplo de $10\%$$0\%$$100\%$), ¿cómo podría usted calcular la probabilidad para cada concentración que dos cuadrados son de agua de tocar? ¿Cómo se calcula el número promedio de agua-el agua de los bonos en cada concentración? Al lado dos cuadrados azules representa uno de agua-agua de bonos.

EDIT: Mi modelo en una dimensión parece estar trabajando a mi gusto, y ahora me gustaría extrapolar a dos y tres dimensiones. Voy a estar publicando mis resultados personales/progreso aquí, pero ¿cuál es la mejor manera de trasladar esto a las dimensiones superiores?

Answer 1

El número total de arreglos es $N \choose n$. Para encontrar el número total sin un par de plazas de agua juntos, poner las plazas agua no en una fila. $N-n+1$ Lugares para poner plazas de agua (incluyendo los extremos), así que hay maneras de ${N-n+1 \choose n}$. La probabilidad requerida es $1-\frac {N-n+1 \choose n}{N \choose n}=1-\frac {(N-n+1)!}{n!(N-2n+1)!}\frac {(N-n)!n!}{N!}=1-\frac {(N-n+1)!}{(N-2n+1)!}\frac {(N-n)!}{N!}$

Answer 2

Vamos a suponer que la ubicación de las casillas azules son "casuales" con todas las opciones de $n$ azul plazas de la $N$ total plazas igualmente probables. Vamos a utilizar el método de indicador de variables aleatorias.

Para$i=1$$N-1$, vamos a $X_i=1$ es que hay agua en $i$ y a las $i+1$, y deje $X_i=0$ lo contrario. A continuación, $X=X_1+X_2+\cdots+X_{N-1}$ es el número de veces que el azul es seguido por una azul. Usted pidió $E(X)$. Por la linealidad de la expectativa, tenemos $$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_{N-1}).$$

Todas las $X_i$ tienen la misma expectativa. La probabilidad de que el $i$-ésimo cuadrado es de color azul y el $i+1$-ésimo cuadrado azul es $\frac{n}{N}\cdot\frac{n-1}{N-1}$. Multiplicar por $N-1$ conseguir $E(X)$. Llegamos a la conclusión de que $$E(X)=\frac{n(n-1)}{N}.$$

Observación: tenga en cuenta que el $X_i$ son no independientes, sino por la linealidad de la espera, eso no importa. A un grado justo, esto es lo que hace que el método poderoso. Nos permite eludir el posible problema difícil de encontrar la distribución de $X$, y, a continuación, vadeando a través de un lío para calcular la expectativa.