Mientras estudiaba cálculo en casa, he llegado a derivados, y un libro menciona la regla de la cadena. El libro no entra en mucho detalle, y las búsquedas de internet me dieron poca información, así que estaba esperando que alguien me pudiera aclarar sobre este principio fundamental del cálculo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Bueno, por lo que (con suerte) saber cómo tomar la derivada de algo como $\tan x$, o
$$\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x$$
bueno lo que si me dio algo como
$$\frac{d}{dx}(\tan(x^2))$$
Ahora tenemos una función específica dentro de la primera función. La regla de la cadena dice que la derivada como normal (sólo el tratamiento de la $x^2$ como $x$), luego se multiplica por la derivada de la parte interna de la función. Así, obtenemos
$$\frac{d}{dx}(\tan(x^2))=\sec^2(x^2)\cdot 2x=2x\sec^2(x^2)$$
Otra manera en que se escribe esto muchas veces es
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
donde $u$ es el "integrado" de la función. Así, en nuestro ejemplo tendríamos $u=x^2$, lo $y=\tan u$. A continuación, nos gustaría obtener
$$\frac{dy}{dx}=(\sec^2(u))(2x)=2x\sec^2(x^2)$$
De manera que es consistente con la forma en que lo hizo antes, sólo un poco diferente manera de ver las cosas
mvanveen
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2067
Los matemáticos a menudo como para componer funciones. Que es
$(f\circ g)(x) = f(g(x))$,
como puedes ver a menudo.
Como un ejemplo ilustrativo de la composición vamos a definir dos funciones:
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \mapsto \frac{1}{x}$ $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x+1$.
El uso de estas funciones, obtenemos:
$(f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = \frac{1}{x+1}$,
una función que, probablemente, no es demasiado extraño para ti.
El uso de la composición, podemos [de]construcción de muchas de las funciones. Normalmente, puede usar el cociente de la regla en el ejemplo anterior, cuando se deriva, sin embargo es igualmente válido para tratarla como una composición de funciones, a continuación, utilizar la regla de la cadena para derivar de ella.
La regla de la cadena se define como:
$(f \circ g)'(x) = (f' \circ g)(x) \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
A menudo, usted encontrará una regla fácil de usar que las otras, y poco a poco aprender que sería más rápido, como hacer más ejercicios.
Zain Patel
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6331
Puede encontrar información sobre la regla de la cadena aquí, es básicamente la manera de diferenciar funciones compuestas y por lo tanto es enormemente útil en todo cálculo diferencial donde la mayoría de funciones está compuestos de materiales compuestos de... etcetera... de funciones, así que la regla de la cadena es útil. Básicamente indica que la derivada de una función de $$h(x) = f(g(x))$$ is given by $$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ where the notation $f ' (x) $ refers to the derivative of the function $f (x) $ with respect to $x$.
CodeMonkey1313
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Las otras respuestas se centran en lo que la regla de la cadena y de cómo los matemáticos de la vista. Pero te has preguntado lo que es bueno para. La respuesta se encuentra en las aplicaciones de cálculo, tanto en la palabra de problemas que puede encontrar en los libros de texto y en la física y otras disciplinas que utilizan el cálculo. He buscado por "problemas de aplicación de la regla de la cadena" y encontré un par de sitios que podrían ser de ayuda.
Aquí se parte de un ejemplo de http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivative/chainap.html
Ejemplo 2: la Química y La Ley del Gas Ideal
Las propiedades de los gases se han estudiado por siglos, y que ha se ha encontrado que muchos de los gases de satisfacer a una relación aproximada llamado la Ley de los Gases Ideales que los estados que
$$PV = n R T .$$
Supongamos que un 1 litro tamaño de cilindro de gas con 100 moles de gas de oxígeno ha sido por descuido, se coloca cerca de un radiador, por lo que su la temperatura se eleva a una tasa de 2 grados por minuto. ¿A qué tasa será el aumento de la presión en el cilindro?
Usted encontrará algunos buenos ejemplos aquí: http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math102/2011/keshet.notes/Chapter7.pdf
null
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694
A veces es más fácil encontrar funciones con respecto a algo que no es lo que se utiliza para derivar.
Digamos, por ejemplo, usted quiere medir la aceleración de la $a$ de un coche de carreras en una pista de carreras. A decir que usted puede medir la velocidad de $v$ de los coches en posiciones conocidas $x$ sobre la pista.
El resultado de sus medidas serían valores discretos para $v$, dependiendo de las posiciones $x$ que se mide en. Digamos que de alguna manera crear una función de los valores discretos. (por ejemplo, mediante el ajuste de una curva a los puntos de datos). Usted tiene ahora una función de la velocidad de $v$ con respecto al $x$, así: $v(x)$.
Recuerde que la meta: la aceleración de $a$ de los coches es lo que usted quiere saber. este se define como $$a=\frac{dv}{dt}$$
¿Cuál es la derivada de la $v$ con respecto a $t$? $v$ no depende de $t$. Es $v$ un valor constante en el respeto a $t$? Ciertamente que no. El coche de carreras tenían una velocidad diferente en distintos momentos. Lo que también es cierto es que el coche de carreras cambiado su posición a lo largo del tiempo, lo que significa que su Posición es una función del tiempo: $x(t)$
Y esto es algo "indirecta" de manera que $v$ cambios con respecto a $t$, debido a $x$. Si ahora expandir el original de la fracción con $dx$, se obtiene:
$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dt}\cdot\frac{dx}{dx}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$$
Que es la fórmula de la regla de la cadena.
