Pregunta básica: cierre de conjuntos irreducibles

Question

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico, $U \subseteq X$ un subconjunto abierto no vacío de $X$ y sea $W$ un subconjunto cerrado no vacío e irreducible de $X$. Suponiendo que $W \cap U \neq \emptyset$, ¿por qué esta intersección es irreducible en $U$ y su clausura (tomada en $X$) es igual a $W$?

Claramente $W \cap U$ es denso en $W$ porque es un subconjunto abierto de $W$ y $W$ es irreducible, por lo que su clausura, tomada en $W$, es $W$ mismo. No entiendo por qué su clausura, tomada en $X$, es igual a $W. ¿Por qué es esto? Además, ¿por qué es irreducible en $U$?

EDICIÓN: OK $W=cl_{X}(W)=cl_{X}(W \cap U)$, creo. Sin embargo, ¿por qué es irreducible en $U?

Answer 1

Decir que $W \neq \emptyset$ es irreducible significa que no es la unión de dos subconjuntos cerrados ambos $\neq W$.
Pasando a complementos, significa que dos subconjuntos abiertos no vacíos de $W$ tienen intersección no vacía.
Pero entonces cada subconjunto abierto $V \subset W$ tiene la misma propiedad (ya que los abiertos de $V$ son en particular abiertos de $W) y por lo tanto es irreducible.
Esto se aplica en particular a $V = W \cap U$.

Answer 2

Su afirmación no es verdadera, a menos que asuma más sobre $U$. Por ejemplo, tome $X$ el plano afín con topología de Zariski, $W$ una parábola y $U$ cualquier recta que intersecte la parábola en dos puntos. Entonces, $W\cap U$ consiste en dos puntos distintos de la recta $U$, que no es en absoluto irreducible. Su cierre en $X$ tampoco es igual a $W.

Answer 3

Un espacio $X$ es irreducible si y solo si $U\cap V\ne\varnothing$ siempre que $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos no vacíos de $X$. Así, $X$ es irreducible si y solo si cada subconjunto abierto no vacío de $X$ es denso en $X.

Ahora sea $\langle X,\tau\rangle$ cualquier espacio, sea $W$ un subconjunto cerrado, irreducible y no vacío de $X$, y supongamos que $U\in\tau$ es tal que $U\cap W\ne\varnothing. (Aunque no lo dijiste, está claro que pretendías que $U$ fuera abierto.) Dado que $W$ es irreducible, $U\cap W$ es denso en $W$, y dado además que $W$ es cerrado en $X, \operatorname{cl}_X(U\cap W)=\operatorname{cl}_W(U\cap W)=W$, como mencionaste.

Ahora sean $V_0$ y $V_1$ subconjuntos abiertos no vacíos de $U\cap W$. Entonces existen $G_0, G_1\in\tau$ tales que $V_0=G_0\cap(U\cap W)$ y $V_1=G_1\cap(U\cap W)$, por lo que $V_0$ y $V_1$ son subconjuntos abiertos no vacíos de $W$ también, y por lo tanto $V_0\cap V_1\ne\varnothing. Así, $U\cap W$ es irreducible.