Puede $f(\infty)$ se define si la secuencia $f(n)$ es divergente?

Question

Sea dada una función de valor real $f(n)$ con $n\in\mathbb{N}$ , $a,b \in\mathbb{R}$ : $$ f(n+1) = a f(n) + b $$ ¿Cuál es entonces el valor de $f(\infty)$ ?
Como físico de formación, al haber sido educado con los límites y el cálculo, primero derivaría lo siguiente, para $m\in\mathbb{N}$ : $$ f(n+m) = a^m f(n) + \frac{1-a^m}{1-a} b $$ En consecuencia, pero sólo para $|a| < 1$ : $$ f(\infty) = \lim_{m\to\infty} f(n+m) = b/(1-a) $$ Y si $|a|\ge 1$ entonces este límite y así $f(\infty)$ no existe.

Sin embargo, hace tiempo en Internet, sci.math para ser precisos, he visto un argumento como este - el original está en ASCII: $$ f(n+1) = a f(n) + b \quad \Longrightarrow \quad f(\infty) = f(\infty+1) = a f(\infty) + b \quad \Longrightarrow \quad f(\infty) = b/(1-a) $$ Así, $f(\infty)$ se define incluso si la secuencia $f(n)$ es divergente. Lo he reproducido como dice.

Ahora el pregunta es: ¿es este último un argumento válido en matemáticas, y es $f(\infty)$ efectivamente definida, aunque la secuencia $f(n)$ ¿es divergente?

Answer 1

El infinito no es un valor, así que decir $f(\infty)$ y $f(\infty + 1)$ no tiene sentido desde el punto de vista matemático.

Sin embargo,

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(x+1) = L,$$

pero sólo si $L$ existe. Esto formaliza el argumento que has hecho.

Answer 2

Es un procedimiento formal para encontrar el punto fijo. Incluso si $|a|>1$ , $\frac{b}{1-a}$ sigue siendo un punto fijo de $f$ . La diferencia es que si $|a| < 1$ , $f$ converge a $\frac{b}{1-a}$ independientemente de lo que $f(1)$ es, pero si $|a|\geq1$ sólo te quedas en el punto fijo si es ahí donde empezaste, mientras que otros puntos se desplazan al infinito.

De hecho, te darás cuenta de que, formalmente, $\infty$ también es un punto fijo. Lo que esto dice es que $|a| < 1$ significa que otros puntos se envían a $\frac{b}{1-a}$ pero si $|a|\geq1$ entonces otros puntos son enviados a $\infty$ .

En resumen, el cálculo formal obtiene un resultado que es significativo en algún sentido, pero no según las definiciones habituales de los límites. Yo haría un paralelismo con algunos resultados interesantes que se obtienen al manipular series divergentes.

Answer 3

Resumiendo, tu argumento se supone que que la función es convergente es decir, que $f(\infty)$ es a la vez finito y constante . Pero, ¿y si $f(\infty)$ es infinito, o un conjunto de valores, en lugar de un único punto fijo; es decir, $\sin(\infty)$ sería un intervalo entero, a saber $[-1,+1]$ en lugar de un único valor fijo.

Answer 4

Como han señalado otras respuestas, $f(\infty)$ se define si y sólo si usted lo define. Además, se puede definir de tal manera que su manipulación formal sea de hecho un argumento válido. Así que para mí la pregunta no es tanto "¿es esto válido?" sino "¿es esto útil?" En concreto, me gustaría una definición tal que:

1. Su argumento formal se aplica y calcula correctamente el límite.

2. La definición se aplica a muchos tipos de funciones diferentes, y da respuestas interesantes para todas ellas.

Creo que esa definición existe. Además, existe un principio general para hacer definiciones interesantes de este tipo. Este principio es la continuación analítica.

La idea es sencilla: Expresa el límite o la suma que quieres estudiar como una suma de una serie de potencias en un punto concreto. Cuando la serie de potencias converge, se obtiene la respuesta habitual. Cuando diverge, se intenta sumar la serie de potencias en un punto diferente, formando una función analítica compleja, y se continúa esa función analítica alrededor de la singularidad hasta el punto elegido.

Por ejemplo, a la secuencia $f(n)$ podríamos asociar la serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty f(n) x^n$ . Obsérvese que cuando $f(n)$ tiene un límite $f(\infty)$ , como $x$ se acerca a $1$ esta suma es $f(\infty)/(1-x)+ o(1/(1-x))$ . Así que vamos a establecer:

$$g(x) = \sum_{n=1}^\infty f(n) x^n$$

$$ h(x) = (1-x) g(x)$$

y definir $f(\infty)= h(1)$ .

Ahora bien, cuando la suma no converge cerca de $1$ pero sigue convergiendo cerca de $0$ podemos continuar analíticamente $g(x)$ . Para la función que has escrito, siempre convergerá en algún disco alrededor de $0$ . Además, podemos calcular a partir de la relación de recurrencia:

$$ g(x) = \sum_{n=1}^\infty f(n) x^n = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} f(n+1) x^n = f(0) + ax g(x) + b \frac{x}{1-x} $$

$$g(x) = \frac{f(0) + b \frac{x}{1-x} }{1-ax}$$

$$h(x) = \frac{ f(0) (1-x) + bx }{1-ax}$$

Estas fórmulas describen $g$ y $h$ en el disco alrededor de $0$ . Como estas funciones son analíticas, también deben describir la continuación analítica de $g$ y $h$ dondequiera que se definan. Por lo tanto, es matemáticamente válido calcular:

$$h(1) = \frac{ f(0)(1-1) + b}{1-a} = \frac{b}{1-a}$$

Esta técnica puede utilizarse para justificar muchas otras identidades extrañas definiendo adecuadamente los términos, como la conocida "fórmula":

$$1+ 2+ 3+ 4 + \dots = \frac{-1}{12}$$

Pero, sobre todo, la continuación analítica de este tipo de sumas es también crucial en muchos tipos de investigación matemática, sobre todo en el estudio de la función zeta de Riemann.

También se utiliza en física bajo los nombres de "regularización" y "renormalización", pero no sé mucho sobre eso.

Cuando trabajes con una manipulación formal "tonta" que parece producir un resultado interesante, no te preguntes "¿es esto riguroso?" sino "¿cómo puedo hacer esto riguroso con definiciones apropiadas?" Este modo de investigación ha conducido a importantes conocimientos en el pasado, y conducirá a muchos más en el futuro. Tal vez algún día todas las manipulaciones simbólicas utilizadas en física tengan una base rigurosa en sus propias teorías matemáticas que tendrán aplicaciones mucho más allá de su propósito original.

Answer 5

Usted hace la pregunta, ¿es $f(\infty)$ ¿se define? Pues bien, $f(x)$ normalmente significa tomar el número en el codominio de $f$ asociado al valor $x$ en el ámbito de $f$ . Ya que usted definió $f$ para tener un dominio de $\mathbb N$ y $\infty\not\in\mathbb N$ esto no tiene sentido. Sin embargo, hay varias maneras adhoc que podemos arreglar esto, y mira al final de esta respuesta, para saber cómo resolver este problema correctamente.

---

Primero algunas de las formas adhoc de resolver esto:
Obviamente te refieres a algo diferente a aplicar la función con $\infty$ . Una forma de definir esta notación defectuosa $f(\infty)$ podría estar utilizando los límites como usted lo hizo: $$f(\infty):=\lim_{n\to\infty}f(n)$$ Esta interpretación tiene un sentido razonable, y da lugar a diferentes valores para diferentes $a$ y $b$ por ejemplo $a\ge1$ resultados en $f(\infty)=\pm\infty$ dependiendo de $b$ y $|a|<1$ resultados en $f(\infty)=b/(1-a)$ y demás, no creo que encontrar estos límites sea el núcleo del problema.

---

Otra forma de interpretarlo es decir que $\infty+1=\infty$ y dejando caer $\infty$ en la definición original, ignorando que no está definida para $\infty$ . Entonces, lo consigues: $$ \begin{align} f(\infty+1) &= a f(\infty) + b\\ f(\infty) &= a f(\infty) + b\\ f(\infty)-a f(\infty) &= b\\ f(\infty)\cdot(1-a) &= b\\ f(\infty) &= \frac b{1-a}\\ \end{align} $$ Y bajo esta interpretación se obtiene $b/(1-a)$ independientemente de los valores de $a$ y $b$ .

---

Cuando vemos este fenómeno de varias respuestas dependiendo de la interpretación, siempre hay una respuesta clara sobre cuál es el problema y cómo resolverlo:

El problema es que no has definido bien lo que quieres decir y la solución es defina bien lo que quiere decir .