Fracción parcial del $\prod_{j=1}^{N}\frac{1}{(x-a_{j})^{n_{j}}}$

Question

Alguien sabe la fracción parcial descomposición de $$\prod_{j=1}^{N}\ \frac{1} {(x-a_ {j}) ^ {n_ {j}}} ¿$$ con todos los %#% diferentes #% y $a_{j}$ enteros positivos? Sé que se puede obtener con el residuo, pero la diferenciación es torpe.

Answer 1

Nueva respuesta

Si escribimos la fracción parcial de la descomposición como $$\prod_{j=1}^N\ \frac{1}{(x-a_j)^{n_j}} =\sum_{j=1}^N\ \sum_{p=0}^{n_j-1}\ \frac{c_{j,p}}{(x-a_j)^{n_j-p}}\quad,$$ entonces tenemos $$c_{j,p}=(-1)^p\sum_{u\S(j,p)}\ \prod_{k\neq j}\ \binom{n_k-1+u_k}{n_k-1}\ \frac{1}{(a_j-a_k)^{n_k+u_k}}\quad,$$ donde $S(j,p)$ es el conjunto de los mapas $$u:\{1,\dots,N\}\setminus\{j\}\to\mathbb N,\quad k\mapsto u_k$$ que satisfacer $$\sum_{k\neq j}\ u_k=p.$$ Para demostrar esto, basta observar que, para $1\le j\neq k\le N$, el grado menos de $n_j$ el polinomio de Taylor de $$\frac{1}{(x-a_k)^{n_k}}$$ en $a_j$ es $$\sum_{q=0}^{n_j-1}\ \binom{n_k-1+q}{n_k-1}\ \frac{(-1)^p}{(a_j-a_k)^{n_k+q}}\ (x-a_j)^q\quad.$$

Respuesta anterior

Una expresión para la fracción parcial de la descomposición se obtiene mediante la combinación de Robert respuesta con el Teorema de $11$ p. $8$ en este documento pdf, accesible desde esta página html.

Answer 2

Que $P(x) = \prod_{j=1}^N (x-a_j)^{n_j}$, y cada $k \in \{1 \ldots N\}$ $U_k(x) = P(x)/(x-a_k)^{n_k}$ sea el producto de los términos que no impliquen $x-a_j$. El coeficiente de $(x-a_k)^{-m}$, donde $1 \le m \le n_k$, es el coeficiente de $t^{n_k - m}$en la serie de Maclaurin de % de $1/U_k(t+a_k)$.

EDIT: en el caso $N=2$, $1/U_1(t+a_1) = (t+a_1 - a_2)^{-n_2}$ así que el coeficiente de $(x-a_1)^{-m}$ ${n_1 + n_2 - m - 1 \choose n_2 - 1} \frac{(-1)^{n_2}}{(a_2 - a_1)^{n_1 + n_2 - m}}$ $1 \le m \le n_1$ (y semejantemente para el coeficiente de $(x -a_2)^{-m}$ $1$ y $2$ intercambian). El caso general se puede reducir a éste, desde if $$\frac{1}{\prod_{j=1}^{N-1} (x-a_j)^{n_j}} = \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=1}^{n_j} \frac{b_{j,k}}{(x - a_j)^k}$ $$$ \frac{1}{\prod_{j=1}^N (x-a_j)^{n_j}} = \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=1}^{n_j} \frac{b_{j,k}}{(x-a_j)^k (x-a_N)^{n_N}}