Alternando la suma de los coeficientes binomiales multiplicado por (1/k +1)

Question

Estoy tratando de demostrar que

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k \frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+1}$$

Hasta ahora he probado la inducción (que realmente no funciona en todos), con hechos bien conocidos como

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k = 0$$

y tratando de aplicar las identidades como

$${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$$

¿Nadie sería capaz de señalarme hacia el método correcto? ¿Debo buscar para aplicar una identidad o existe un método que falto?

Answer 1

• Tenga en cuenta que \int_{0}^{1 $$(1-x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^{n-k}\ x^{k} =(-1)^{n}\sum_{k=0}^{n}{n\choose k} (-1)^{-k}x^{k} =(-1)^{n}\sum_{k=0}^{n}{n\choose k} (-1)^{k}x^{k}$$ And since $\displaystyle} x ^ {k} \ dx = \frac{1}{k+1}$. Its worth looking at $\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x) ^ {n} \ $ dx

Answer 2

De $(k+1)\binom{n+1}{k+1} = (n+1)\binom{n}{k}$ obtenemos

\begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1} &= \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1}(-1)^k \\ &= \frac{1}{n+1} \Bigl( 1 + \sum_{r=0}^{n+1} \binom{n+1}{r} (-1)^{r-1} \Bigr) \\ &= \frac{1}{n+1} \end{align*} como sea necesario.

Answer 3

Este es un caso especial de ($x=1$) de la identidad $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+x} = \frac{1}{x\binom{n+x}{n}} $$ que es demostrado en Concreto de las Matemáticas, de la sección 5.3, página 188. El esquema de la prueba es:

Muestran que la n-ésima diferencia de $1/x$ es $$ \frac{(-1)^n}{\binom{n+x}{n}} $$ Esto es fácil el uso de los métodos de cálculo finito, cf. capítulo 2 de ese mismo libro; es análoga a la n-ésima derivada de $1/x$.

Y muestran que la n-ésima diferencia de cualquier función de $f(x)$ está dado por $$ \Delta^n f(x) = \sum_k \binom{n}{k} (-1)^{n-k} f(x+k) $$

Esto puede ser demostrado por inducción, pero también tiene un lindo prueba utilizando el concepto de que el operador de desplazamiento a la $E(f(x) = f(x+1)$ y la escritura $\Delta^n$$(E-1)^n$.

A continuación, el uso de $f(x)=1/x$ el resultado de la siguiente manera.

Answer 4

Tratar como una suma de Abel, es decir

$$\sum f(k)\Delta g(k)\delta k=f(k)g(k)-\sum g(k+1)\Delta f(k)\delta k$$

donde

$$\sum_{a}^{b}f(k)\delta k=\sum_{k=a}^{b-1}f(k)$$

Para obtener más información acerca de cálculo finito se puede ver por ejemplo aquí.