¿Por qué suma de serie infinita termina para arriba en potencias de pi?

Question

Por ejemplo, tenemos $$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...=\frac{\pi}{4}$ #% $ $$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$$ $$1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+...=\frac{\pi^3}{32}$$ el % $ $$1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+...=\frac{\pi^4}{90}$

Todos los $\pi$s vienen para arriba sin razón aparente. ¿Hay alguna razón por qué series infinitas dan lugar a $\pi$, especialmente en el caso cuando termina en poderes de $\pi$?

Puedo pensar en transformada de Fourier y la función de Reimann Zeta como un acercamiento, pero no soy un chico de matemáticas por lo que no tengo ni idea de cómo explicar esto.

Edición: Más poderes: $$1-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+...=\frac{5\pi^5}{1536}$ $ $$1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{4^6}+...=\frac{\pi^6}{945}$ $ $$1-\frac{1}{3^7}+\frac{1}{5^7}-\frac{1}{7^7}+...=\frac{61\pi^7}{184320}$ $ $$1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\frac{1}{4^8}+...=\frac{\pi^8}{9450}$ $

Answer 1

Una manera de llegar a tales expresiones serie participación $\pi$ es a partir de %#% $ de #% por supuesto, en primer lugar tienes que justificar $$\tag1\frac1\pi\sin \pi z = z\prod_n(1-\frac{z^2}{n^2})$; por lo menos usted puede notar que los ceros en los lugares adecuados y que ingenua (pero justifyable) diferenciación produce el derivado de la misma en $(1)$. Siguiente, (otra vez: ingenuamente, pero esto puede ser justificado) se convierten en poderes de $z=0$, $z$ $ y comparar coeficientes. Esto le da $$z-\frac{\pi^2}6z^3+\frac{\pi^4}{120}z^5\pm\ldots =z-z^3\sum\frac1{n^2}+z^5\prod_{n<m}\frac1{(nm)^2}\pm\ldots$ directamente y luego de $\sum_n \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ $ y así sucesivamente