Probabilidad: matemáticamente lo que significa decir «dejar $X$ ser una variable aleatoria con una FCD/pdf»

Question

No entiendo muy bien lo que la gente entiende por dejar "$X$ ser una variable aleatoria CON una cdf/pdf". Por ejemplo, hay una pregunta que dice: "sea X una variable aleatoria con los 3 parámetros de Weibull pdf y cdf"

Supongamos que yo diga: Vamos a $X$ ser una variable aleatoria con Gaussiano CDF.

¿Qué significa eso exactamente? $X$ es una función que se asigna desde el espacio de eventos para un número real. ¿Qué significa "conectar", "link", "equipo", CON un CDF? Es ya una función, lo que significa dejar de conectar con otra función, ¿por qué no tratar con $X$ directamente.

Entonces miro a la CDF:

$f_X(x) = \int_A \exp(-x^2/2)dx$

Me pregunto: Es "$\exp(-x^2/2)$" parte de la variable aleatoria? No. Es "$\int_A \exp(-x^2/2)dx$" de la variable aleatoria? No. Es poco $x$ es la variable aleatoria? No. ¿Cuál es la diferencia si yo escribí $f(x)$ en lugar de $f_X(x)$? No pasa nada.

¿Qué hace el CDF/PDF tienen que ver con la variable aleatoria exactamente? ¿Cómo saber cual de CDF/PDF una variable aleatoria "ha"?

Answer 1

Una variable aleatoria formalmente es un medibles mapa de un espacio de probabilidad $(\Omega, \sigma, P)$ $(\Bbb{R}, B(\Bbb{R}), \mu)$donde $\mu$ es la medida de Lebesgue y $B(\Bbb{R})$ es el borel $\sigma$-álgebra.

Si $P \ll \mu$ (leer $P$ es absolutamente continua wrt $\mu$. Significado $\mu(S)=0\implies P(S)=0$) y $\Omega$ $\sigma$- finito, entonces el Radón Nikodym derivados, $f$ existe y se llama a la función de densidad de probabilidad.

Si usted desea un poco más elementales explicación. Por "medibles mapa" nos referimos a la $P(X\leq x)$ es siempre definida. Nos basta con definir la nueva función de $F(x)=P(X\leq x)$ y si la derivada de $F$ existe, $f$ es el PDF.

Answer 2

Sí $X$ es una función de la de espacio para eventos, $\Omega$ a los reales $\mathbb{R}$, pero hay un poco más: $\Omega$ es un espacio de probabilidad, es decir, tiene un $\sigma$-álgebra y una probabilidad de medir. Si estos términos son desconocidos para usted, a grandes rasgos esto es simplemente decir que cada evento tiene una probabilidad asociada con [que satisface algunas razonable propiedades, como por ejemplo, la probabilidad de la unión de dos disjuntos es la suma de sus respectivas probabilidades].

Tenga en cuenta que esto induce a una medida de probabilidad en $\mathbb{R}$. Dado cualquier intervalo de $(-\infty,t]$ (o más en general, cualquier conjunto abierto), podemos definir la probabilidad como la probabilidad de que la preimagen $X^{-1}((-\infty,t])$, es decir, la probabilidad de que el subconjunto de $\Omega$ que $X$ mapas a $(-\infty,t]$. A menudo nos denotamos simplemente como $\mathbb{P}(X \le t)$.

Sin esta noción de probabilidad, todo lo que tiene es un mapa; no tienen ninguna noción de preguntas como "¿cuál es la probabilidad de que $X$ se encuentra en el intervalo de $[0,3]$?" Más concretamente, si $X$ es el resultado de una tirada de un dado, entonces todo lo que tienes es un mapa a $\{1,\ldots,6\}$ y sin noción de la probabilidad de cada resultado. La aleatoriedad viene de la medida de probabilidad subyacentes.

Ahora, si uno dice "$X$ ha CDF $F$," entonces esto es solo la especificación de la medida de probabilidad subyacentes, es decir, se le dice $F(t) := \mathbb{P}(X \le t)$ cualquier $t$. Resulta que si sabemos de esta información, se puede encontrar la probabilidad de que cualquier conjunto de Borel.

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Con respecto a tus últimas preguntas ("¿Cuál es el CDF/PDF de una variable aleatoria?") aquí están las definiciones de forma explícita:

La CDF de una variable aleatoria $X$ es una función de $F:\mathbb{R} \to [0,1]$ definido por $F(t) := \mathbb{P}(X \le t)$.

No cada variable aleatoria tiene un PDF, pero si su CDF es diferenciable, entonces su PDF se define a ser $f(x) := \frac{d}{dt}F(t)$. Por cálculo, PDF satisface $F(t)=\int_{-\infty}^t f(x) \mathop{dx}$.