Lo que me asusta, es que la serie en la última fórmula se inicia con $−\infty$. Es que incluso posible? No hemos estudiado la serie, pero por lo que yo entiendo de la serie por lo general comienza con $1$ (o $0$) y se extiende hacia el infinito.
Usted no debe tener miedo.
La serie del tipo:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n \qquad \text{(also denoted by } \textstyle\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n\text{)}$$
por lo general se llama bilateral de la serie. Un bilaterales de la serie converge si el límite:
$$\lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N a_n$$
existe; de lo contrario, se dice a divergir. Si usted desea, usted puede pensar que una convergente bilateral de la serie como una suma de dos "estándar" de la serie, es decir:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_n +\sum_{n=1}^\infty a_{-n}$$
Por ejemplo, los acuerdos bilaterales de la serie:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$$
converge: de hecho, para fijo $N,M\in \mathbb{N}$ consigue:
$$\begin{split} \lim_{N,M\to \infty} \sum_{n=-M}^N \frac{1}{(2n+1)^2} &= \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(2n+1)^2} +\lim_{M\to \infty} \sum_{n=1}^M \frac{1}{(1-2n)^2} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}\end{split}$$
para ambas series se $\sum 1/(2n+1)^2$ $\sum 1/(1-2n)^2$ convergen; en particular:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} =\frac{\pi^2}{4}\; .$$
