uno al lado del otro

Question

Dada una secuencia $a_1,\dots,a_n\geq 0$, podemos siempre dividirlo en tres partes $$a_1,a_2,\dots, a_i \mid a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_j\mid a_{j+1},a_{j+2},\dots,a_n$$ con la propiedad de que si la suma de una parte es menos que otro, luego por la adopción de algún elemento de la última parte, la suma de los ex parte se convierte en, al menos, la suma de la última parte?

Si sólo queremos dos partes en lugar de tres, esto puede lograrse dividiendo de manera que la suma son tan iguales entre sí como sea posible - si la propiedad no es entonces existe una mejor división moviendo el límite hacia la parte con la suma más grande.

Para las tres partes es posible que todavía desea reducir al mínimo la diferencia entre el importe máximo y el mínimo de la suma, pero no es claro que esto implica la propiedad deseada, especialmente entre la primera y la tercera partes, ya que no son adyacentes.

Answer 1

Considerar la progresiva sumas de toda la secuencia $$s_{1}=a_{1},\; s_{2}=a_{1}+a_{2}, \cdots, \; S=s_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$$

Si usted gráfico, se puede obtener una escalera de$0$$S$, con desigual de los pasos.

Trazar las líneas de $S/3$$2/3S$: van a interceptar la escalera (seguro) en algún paso $a_{m}$$a_{q}$, en un parcial de las cuotas de ellas $0 < h_{m},h_{q} \le 1$.
Así
$S/3=a_{1}+\cdots+h_{m}a_{m}$
$S/3=(1-h_{m})a_{m}+a_{m+1}+\cdots+h_{q}a_{q}$
$S/3=(1-h_{q})a_{q}+a_{q+1}+\cdots+a_{n}$

Entonces, dependiendo de los valores de $h_{m},h_{p},a_{m},a_{q}$, usted debe probar que la combinación de suelo,el techo de la $h$'s va a minimizar las diferencias entre las tres sumas.