Simples preguntas sobre productos infinitos

Question

Hemos aprendido acerca de la infinita productos de la clase. No hay libro de texto para el curso, por lo que estoy luchando con los siguientes dos problemas básicos.

Deje $ a_n(z) = 1 + b_n(z), |b_n(z)| \leq \lambda < 1, z \in E $. Demostrar que

(1) $ \prod (1+|b_n|) $ converge uniformemente en $ E $ si y sólo si $ \sum |b_n| $;

(2) Si $ \prod (1+|b_n|) $ converge uniformemente en $ E $, $ \prod (1+b_n) $ también lo hace.

(1) parece ser simplemente tomando el logaritmo, porque $ \prod (1+|b_n|) $ converge uniformemente es el equivalente a $ \sum \log (1+|b_n|) $ converge uniformemente, sino $ \log (1+|b_n|) \sim |b_n| $$ b_n \to 0 $. Es esto correcto o funciona sólo para pointwise convergencia? No estoy seguro de cómo hacer la parte (2).

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia para (1):

El uso de $1 + x \leqslant e^x$ $x > 0$ hemos

$$\sum_{k = n+1}^m |b_k(z)| \leqslant \prod_{ k = n+1}^m (1 + |b_k(z)|) \leqslant \exp \left(\sum_{k = n+1}^m |b_k(z)| \right).$$

Tenga en cuenta que por el criterio de Cauchy $\sum |b_k(z)|$ converge uniformemente si y sólo si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ tal para todos los $m \geqslant n \geqslant N(\epsilon)$ y todos los $z \in E$ hemos

$$\sum_{k = n+1}^m |b_k(z)| < \epsilon$$

La parte (2) es un poco complicado.

Vamos

$$P_n = \prod_{k=1}^n [1 + b_n(z)], \\ R_n = \prod_{k=1}^n [1 + |b_n(z)|]. $$

Entonces

$$|P_n - P_{n-1}| = |(1 +b_1(z)) \ldots (1 + b_{n-1}(z))b_n(z)| \leqslant (1 +|b_1(z)|) \ldots (1 + |b_{n-1}(z)|)|b_n(z)| = R_n - R_{n-1}.$$

Si $R_n$ es uniformemente convergente, entonces también lo es la suma telescópica $\sum (R_n - R_{n-1})$. Por la prueba de comparación, la suma telescópica $\sum (P_n - P_{n-1})$ es unformly convergente. Por lo tanto $P_n$ es uniformemente convergente.