convergen de $(u_{2n})$ $(u_{2n+1})$, $(u_{3n+1})$, $\underset{???}{\Rightarrow}(u_n)$ converge

Question

Deje $(u_n)_{n_\in\mathbb{N}}\in\mathbb{C}^\mathbb{N}$.

Sabemos que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ y $(u_{3n+1})$ convergen.

La cuestión es saber si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

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/!\ Yo no estoy en busca de la respuesta detallada a esta pregunta, por favor no lo publiques.

Algo se me molesta la pregunta anterior. Si una secuencia converge a continuación, todos sus sub-secuencias convergen hacia el mismo límite.

Por lo tanto, tenemos $l\in\mathbb{C}$ tal forma que :

Deje que $e>0,\existe n_0\in\mathbb{N},\forall n\geq n_0, |U_{2n}-l|\leq e\text{ y }|U_{2n+1}-l|\leq e$

Por lo tanto $\forall n\geq 2n_0+1, |U_n-l|\leq e$

Por lo tanto, $(u_n)_{n_\in\mathbb{N}}$ converge.

Lo que me molesta en lo anterior, es que no usamos la convergencia de $(u_{3n+1})$ en la prueba. ¿Me olvido de algo ?

Answer 1

Sí. Lo que te perdiste es que $u_{2n}$ y $u_{2n+1}$ puede converger sin convergen a lo mismo. Necesita mostrar que, si convergen a diferentes cosas, entonces $u_{3n+1}$ no converge.

Answer 2

$(u_{2n})$ $(u_{2n+1})$ podría converger a dos números, por lo que no converge la secuencia como un todo. Pero la tercera secuencia alterna entre índices pares e impares, así que divergen en este caso.