Definir $\lbrace x_n \rbrace$ $$x_1=1, x_2=3; x_{n+2}=\frac{x_{n+1}+2x_{n}}{3} \text{if} \, n\ge 1$ $ Las instrucciones son para determinar si esta secuencia existe y encontrar el límite, si es que existe.
Puedo demostrar que la secuencia es, finalmente, la disminución y que está delimitada por debajo de (ver más abajo). Por lo tanto, si mi trabajo es correcta, la secuencia tiene un límite. El problema es que si el límite es, digamos, $L$ a continuación, se debe satisfacer $L=\frac{L+2L}{3}$; sin embargo, cada número real satisface la última igualdad. Por lo tanto, si este límite existe, ¿cómo puedo encontrar?
Probando el límite existe:
1) La sucesión es acotada abajo por $1$. Caso Base: $x_1=1\ge 1$.
Inducción: Supongamos $x_n\ge 1$ todos los $k=1,\ldots ,n+1$. A continuación,$x_{n+2}=\frac{x_{n+1}+2x_{n}}{3}\ge \frac{3}{3}=1$.
2) La secuencia es, finalmente, la disminución de: la verdad Es que comienza a disminuir después de la 4ª plazo. Así que lo tome como mi caso base $x_5<x_4$. Caso Base: tenga en cuenta que $$x_3=\frac{x_2+2x_1}{3}=\frac{3+2}{3}=5/3$$ and hence $$x_4=\frac{x_{3}+2x_{2}}{3}=\frac{5/3+2\times3}{3}=23/9$$ so $$x_5=\frac{x_{4}+2x_{3}}{3}=\frac{23/9+2\times5/3}{3}=\frac{53}{27}<x_4$$
Inducción: Supongamos $x_{n}<x_{n-1}.$ $$x_{n+1}-x_n=\frac{x_{n}+2x_{n-1}}{3}-x_n \\=2\frac{x_{n-1}-x_n}{3}<0$$ Por lo tanto, la sucesión es acotada abajo y finalmente es decreciente.
