Que $S\subset\mathbb{R}^3$ ser una superficie convexa cerrada (suave si es necesario) y denotan por $d$ la distancia intrínseca en $S$. ¿Siempre encontramos un $p$ $S_p(t):=\{q\in S\mid d(p,q)=t\}$ estancias conexión todas $t\geq 0$ que?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Khang
Puntos
1
Considere la posibilidad de $2$-dimensiones plana triángulo equilátero $T_i$. Si hemos de pegamento a lo largo del límite de $\partial T_1=\partial T_2$, entonces tenemos una superficie convexa. Entonces cualquier punto de no mantener la propiedad.
Suponga que $S:=T_1\cup T_2$ $d$ es una métrica en $S$.
Fix $x\in {\rm Int}\ T_1$ donde $\{v_i\}$ es el conjunto de vértices en $T_1$ $v_1$ es un vértice más cercano a $x$. Definir $S_t=\{x\in S|d(x',x)=t\}$
Definir $$ y_i\in [v_1v_i],\ d(v_1,y_i)=\varepsilon $$
Vamos a mostrar que el $$d(y_1,y_2)+d(x,y_1)+ d(x,y_2)<2d(x,v_1)$$ Que es que hay un punto de corte $z$ $x$ s.t. $ a$ z \in T_2,\ t:=d(x,z)< d(x,v_1) $$
Esto demuestra que $S-\overline{B(x,t)}$ contiene un componente contiene $v_1$.
Vamos a utilizar coordenadas polares en $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(0,0),\ y_1=\epsilon e^{i0},\ y_2=\epsilon e^{i\frac{\pi}{3}}$ y $x=Re^{i\theta } $.
Por lo tanto \begin{align*} &\ d(y_1,y_2)+d(x,y_1)+ d(x,y_2)\\&= \epsilon + \sqrt{ R^2 +\epsilon^2-2R\epsilon \cos\ \theta } +\sqrt{ R^2+\epsilon^2-2R\epsilon\cos\ (\frac{\pi}{3}- \theta )} \\& =2R + (1-\frac{3}{2} \cos\ \theta -\frac{\sqrt{3} }{2}\sin\ \theta) \epsilon + \cdots \\&< 2R \end{align*}
Resto de los casos son similares.
