definir los reales en una extensión de Arquímedes no elemental del campo real.

Question

¿Se puede hacer? Tenemos el campo real $(\Bbb R,+,-,\times,0,1,<)$, por supuesto $(0,1,-,<)$ son definibles con el resto. Tomamos una extensión elemental de Arquímedes no. ¿Podemos definir el conjunto original de reales en él?

Answer 1

No, usted no: tiene la propiedad supremum de conjuntos acotados definible , ya que se trata de primer orden y su extensión es elemental. Si $\mathbb R$ es definible, se limita (por cualquier elemento infinito del campo). Así que sería un número infinito de "menos".

Answer 2

El primer orden de teoría de los números reales coincide con el primer orden de teoría de real de campos cerrados (http://en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field). Esta teoría es O-minimal (http://en.wikipedia.org/wiki/O-minimal_theory) lo que implica que el definibles subconjuntos de un campo comprenden finito sindicatos de puntos y abrir los intervalos. Una adecuada subcampo no tienen esta forma. (Porque si $K$ es definible subcampo, a continuación,$\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/3, \ldots \in K$, lo $K$ contiene una infinidad de miembros del intervalo cerrado $[-1, 1]$ incluyendo los puntos de terminación, por lo tanto, por O-minimality, $K$ debe contener $[-1, 1]$. Pero, a continuación, $K$ contiene $x$ o $1/x$ cualquier $x$, lo $K$ es todo el campo).