¿Cómo puedo simplificar esta expresión con coeficientes binomiales?

Question

¿Cómo puedo simplificar la siguiente expresión?

$$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}^2$$

Answer 1

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cdot\binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n}$$

La última igualdad puede entenderse mediante un argumento combinatorio. Se quiere elegir $n$ elementos de un conjunto de $2n$ elementos, por lo que puede decidir de antemano cuántos elementos elegirá de la primera $n$ , este es su $k$ y sumando sobre $k$ cuentas las posibilidades de elegir $k$ elementos de la primera $n$ y $n-k$ de la última $n$ . Espero que haya quedado claro. Finalmente

$$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} - 1$$

Answer 2

Primera escritura $$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\tag{1}$$ A continuación, escriba $$(1+x)^n=(x+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\tag{2}$$

Multiplica (1) y (2) e iguala los coeficientes de $x^n$ de ambos lados. Por último, utilice $\binom{n}{0}=1$ .

Answer 3

$$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n} $$ La última igualdad es La identidad de Vandermonde . La primera igualdad utiliza la simetría de los coeficientes binomiales $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .