Si $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ es racional entonces probar $\sqrt[3]{a}$ y $\sqrt[3]{b}$ son racionales

Question

Asumir que existen racionales $a, b$ tal que $\sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b}$ son irrationals, pero:

$$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \frac{m}{n}$$

para algunos enteros $m, n$

$$\implies \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^3 = \frac{m^3}{n^3}$$

$$\implies a + b + 3 \cdot \sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) = \frac{m^3}{n^3}$$

Desde $a +b$, $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ son racionales, $\sqrt[3]{ab}$ debe ser racional así.

Para la comodidad digamos $\sqrt[3]{a} = p, \sqrt[3]{b} = q \implies pq$ es racional. Esto significa que, para todos los $i$, $p^iq^i$ es racional.

$$\implies (p + q)^2 = \frac{m^2}{n^2}$$

$$= p^2 + q^2 + 2pq = \frac{m^2}{n^2}$$

Desde $pq$ es racional, $2pq$ es racional y lo es $p^2 + q^2$.

Supongamos que, por alguna $i$ que $p^i + q^i$ $p^{i-1} + q^{i-1}$ es racional.

$$\implies (p^i + q^i)(p + q) - pq(p^{i - 1} + q^{i - 1}) = p^{i+1} + q^{i+1}$$

es racional así.

Así que para todos los $i$,

$$a^{\frac{i}{3}} + b^{\frac{i}{3}}$$

y

$$a^{\frac{i}{3}}b^{\frac{i}{3}}$$

son racionales.

Sé que estoy muy cerca de la respuesta, pero de alguna manera sigue deslizarse a través de mis dedos.

Answer 1

Como han demostrado, $p^2+q^2\in\Bbb Q$ y $pq\in \Bbb Q$, que $$p-q=\frac{a-b}{p^2+pq+q^2}\in \Bbb Q. compaginándolo con $p+q\in \Bbb Q$, hemos terminado.