Una pregunta sobre la conjetura de Collatz

Question

La función Collatz $T$ se define en el conjunto $\mathbb{Z}^+$ de enteros positivos como: $T(n)=n/2$ si $n$ es par, y $T(n)=3n+1$ si $n$ es impar. Deja que $T^k$ sea el $k$ iteración de $T$ . Nosotros decimos $n$ termina si $T^k(n)=1$ para algunos $k$ .

Dejemos que $n$ sea un número entero de la forma $$3^{2^k(j-1)}+3^{2^k(j-2)}+\cdots +3^{2^k}+1$$

donde $k,j\in \mathbb{Z}^+$ y $j$ es impar.

Pregunta: Will $n$ terminar para todos esos $k,j$ ?

Answer 1

No es realmente una respuesta, pero hay algunas cosas que me gustaría señalar:

1) $n_{j,k} = \displaystyle \sum_{i=0}^{j-1} 3^{i \cdot 2^{k}} = \frac{3^{j \cdot 2^{k}}-1}{3^{2^{k}}-1}$

2) Ya que $j$ es impar, $n_{j,k}$ también es impar.

3) Así, $T(n_{j,k})=3 \cdot n_{j,k}+1$ y $T^{2}(n_{j,k})=\frac{1}{2}(3 \cdot n_{j,k}+1)$ ya que $3n+1$ es uniforme para todos $n$ .

4) $n_{j,k}$ tiene una forma interesante cuando se ve en base 3. Por ejemplo,

IntegerDigits[n[7,3],3]
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1}

Es decir, para $n_{j,k}$ obtenemos un 1 seguido de $j$ ceros, etc.

5) Aquí hay un gráfico de las longitudes de las secuencias $T^{k}(n_{j,k})$ para $1 \le j \le 16$ y $1 \le k \le 8$ aunque para estas secuencias he utilizado una versión muy reducida de la función de Collatz en la que si $n$ está en paz, $T(n)=n/2^{\kappa}$ , donde $\kappa=\max\{k : \, 2^{k}|n \}$ :

Aunque estos números tienen una cierta forma que parecería facilitar la prueba de que tienen una trayectoria descendente hacia el 1, después de buscar un poco no me pareció ver ningún patrón. $\{n_{j,k} : j \, \text{odd}, k \in \mathbb{N}^{+}\}$ es un conjunto de enteros bastante "grande", por lo que esta pregunta podría ser realmente similar en dificultad a la conjetura completa.

Answer 2

Es una conjetura que todos los enteros iniciales terminarán en el bucle 4-2-1. Los enteros han sido investigados con ordenadores y nunca se ha encontrado un ejemplo contrario al bucle 4-2-1. Hace tiempo recopilé docenas de artículos sobre este problema durante varios años. Sigue siendo un problema abierto. "Todo el mundo" asume que la conjetura es cierta, pero nadie ha sido capaz de demostrarla. El problema ha sido ampliamente estudiado y se resiste a ser resuelto, a pesar de su aparente simplicidad.

Una rápida búsqueda en Google de la "conjetura de Collatz" permitirá encontrar numerosas referencias: http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture