Prueba de principio de bañera

Question

Que $ (\Omega, \Sigma, \mu) $ ser un espacio de medida y que $f$ una función de valor real en $\Omega $ tal que $\mu (x :f(x)<t) $ es finito para todos t $\in \mathbb{R}$. Deje el número $G>0$ ser dado y definido una clase de funciones medibles $\Omega$ $C= (g: 0\le g(x) \le 1 $ % todo $x$y $ \int g(x)\mu(dx)=G) $

Entonces el problema de minimización = se soluciona $\inf_{g \in C} \int f(x)g(x) \mu(dx)$ $g(x)= \chi_{(f<s)}(x) + c\chi_{(f=s)}(x)$ donde $s=\sup(t: \mu((x :f(x)<t)) \le G) $ y $c\mu ((x :f(x)=s))=G-\mu ((x :f(x)<s))$

Mi pregunta es, cómo se puede demostrar que g (x) dado por encima es el reductor.

Gracias

Answer 1

Sea $h$ cualquier otro miembro de $C$. Para mostrar que $g$ es un minimizer, es necesario establecer que $I(g) \leq I(h)$, que equivale a que $$ \int f(g-h) \leq 0. $$

Para mostrar esto, dividir la gama de integración en los conjuntos de nivel, subnivel y nivel sup $f$; es decir, $\{f<s\}$, $\{f>s\}$ y $\{f=s\}$:

\begin{align} \int f (g-h) &= \int\limits_{\{f<s\}} f (g-h) + \int\limits_{\{f>s\}} f (g - h) + \int\limits_{\{f=s\}} f (g - h) \\ &\leq s \int\limits_{\{f<s\}} (g-h) - \int\limits_{\{f > s\}} f h + \int\limits_{\{f=s\}} s (g-h) \\ &\leq s \int\limits_{\{f<s\}} (g-h) - s \int\limits_{\{f > s\}} h + s \int\limits_{\{f=s\}} (g-h) \\ & \leq s \left( \int\limits_{\{f<s\}} (g-h) + \int\limits_{\{f>s\}} (g-h) + \int\limits_{\{f=s\}} (g-h) \right) \\ & = s \int(g - h) = s (G -G) = 0. \end {Alinee el}