anillo de funciones regulares $\mathcal{O}(X)_f$ (después de la localización)

Question

Dejemos que $X$ sea un afín $k$ -y que $f$ sea un elemento de $\mathcal{O}(X)$ . La subvariedad $D(f)$ de $X$ es un cuasi-afín $k$ -variedad. Es $\mathcal{O}(X)_f$ el anillo de funciones regulares de $D(f)$ ?

Answer 1

Sí, se trata de la Proposición 2.2 del Capítulo II de "Algebraic Geometry" de Hartshorne: para todo esquema afín $X=\operatorname{Spec}(A)$ con $A$ un anillo conmutativo, y cada $f \in A$ , uno tiene $$ \mathcal{O}(D(f)) \cong A_f \cong \mathcal{O}(X)_f $$

Editar: se ofrece una prueba más elemental en Fulton's maravilloso pequeño libro sobre curvas algebraicas, Proposición 6.3.5. Conviene hacer algunos comentarios:

1. Fulton asume que las variedades son irreducibles, mientras que usted parece permitir las variedades reducibles. Sin embargo, por lo que veo, esto no supone ninguna diferencia en la demostración de la proposición mencionada.
2. La definición de función regular de Fulton puede parecer ligeramente diferente a la que tú das, pero en realidad son las mismas que en Hartshorne.