¿Por qué la función de Cantor no es absolutamente continua?

Question

¿Existe una manera fácil de ver que la función de Cantor no es absolutamente continua que utilice directamente la definición de absolutamente continua?

Answer 1

Una función $f: E \to \mathbb{R}$ es absolutamente continua en un intervalo $E$ si para cada $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares $(x_k, y_k)$ de $E$ satisface

$$ \sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$$

entonces

$$\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon$$

En otras palabras, una función absolutamente continua no fluctúa en un conjunto de medida cero. Para ver que la función de Cantor no es absolutamente continua, se elige $\epsilon < 1$ . Entonces, para cada $\delta > 0$ Puedo encontrar una colección de intervalos $(x_{k},y_{k})$ que cubren los puntos de Cantor en $[0,1]$ tal que

$$ \sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$$

esto es porque el conjunto de Cantor tiene medida cero. Sin embargo, como la función de Cantor sólo cambia en el conjunto de Cantor,

$$\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| = 1$$

y se viola la continuidad absoluta.

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De manera más general, obsérvese que la función de Cantor es singular . Es fácil demostrar (y se siente bien intuitivamente) que una función absolutamente continua y singular debe ser constante. Sin embargo, la función de Cantor está lejos de ser constante.

Answer 2

Una definición de las funciones absolutamente continuas es que mapean conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero. Sin embargo, la función ternaria cantor mapea el conjunto cantor (de medida cero) en $[0,1]$ .

Answer 3

Dejemos que $f$ sea la función de Cantor. $f$ es creciente y no negativo, $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Entonces $f$ es diferenciable a.e. y como $f$ es constante en cada intervalo eliminado en la construcción del conjunto de Cantor, $f^\prime=0$ a.e.

Una vez que asumimos que $f$ es absolutamente continua, tenemos $$\int_0^1 f^\prime=f(1)-f(0),$$ pero esto dice que $0=1$ . Así, $f$ no puede ser absolutamente continua.

Answer 4

La variación de la función de Cantor en cada aproximación $C_n$ del conjunto de Cantor es $1$ . El medir de $C_n$ llega a cero cuando $n\to\infty$ . Ergo .

Answer 5

Como la condición de Lipschitz es absolutamente continua y la función de cantor no satisface la condición de lipschitz, se deduce que la función de cantor no es absolutamente continua.