He leído que para medir la posición de una partícula con una precisión $\Delta x$ necesitamos luz de longitud de onda $\lambda < \Delta x$ . ¿Es cierto? ¿Por qué es así?
¿Es la precisión de la posición una función de la longitud de onda de la luz utilizada, es decir, se $\Delta x$ dependen de $\lambda$ ??
Depende de lo que se entienda por precisión. Si te refieres a la precisión experimental, entonces sí. Si te refieres a la incertidumbre cuántica, entonces no.
Cuando se quiere medir la ubicación de un objeto lanzando luz hacia él y observando lo que nos devuelve, en realidad se está midiendo la intensidad de la luz procedente de diferentes posiciones (nuestros ojos son un ejemplo de aparato que puede medir este patrón de intensidad, aunque en este caso los ojos miden la intensidad de la luz procedente de diferentes direcciones y el cerebro lo interpreta en términos de posiciones).
Un criterio válido para afirmar que una partícula está localizada en alguna posición es requerir que el patrón de intensidad que se recibe tenga un pico agudo alrededor de esa posición. Lo ideal sería que el pico fuera realmente agudo para estar muy seguro de que la partícula está en esa posición. Sin embargo, imagine que el pico no fuera tan agudo, sino que fuera algo así como el perfil de una montaña (o una distribución gaussiana). Entonces, la incertidumbre de dónde está exactamente la partícula vendría dada por alguna medida de lo extendido que estuviera el patrón de intensidad (como la anchura de la montaña).
Ahora bien, ¿cómo se puede conseguir un patrón de intensidad muy marcado? Considere la posibilidad de lanzar una luz de longitud de onda muy larga. Cada una de las crestas de la onda es casi constante a través del espacio, por lo que el patrón que recibirás de ella después de haber sido reflejada por la partícula será también muy amplio. Por lo tanto, aunque reciba muchas simultáneamente, la suma de ellas no creará un pico agudo (es como decir que la suma de funciones casi constantes puede crear una función de pico agudo). Por el contrario, si su longitud de onda es corta, cada una de las crestas de onda fluctúa rápidamente en el espacio, de modo que el patrón de intensidad de cada una de ellas también fluctuará mucho. Por lo tanto, al sumarlas se puede obtener un pico agudo (en realidad se trata de la descomposición de Fourier de un pico agudo, en la que contribuyen principalmente los modos de alta frecuencia).
De forma más cuantitativa, si se utiliza luz de longitud de onda $\lambda$ se puede demostrar matemáticamente (utilizando la descomposición modal de Fourier) que la anchura del pico más agudo que se puede construir es en realidad $\lambda$ .
Toda esta explicación es sin mencionar la mecánica cuántica, donde la luz se cuantifica en fotones. Einstein descubrió que tienen momento $p \sim \lambda^{-1}$ por lo que, según el principio de incertidumbre, no se puede localizar un fotón con una incertidumbre inferior a $\lambda$ .
Creo que la verdadera pregunta es por qué la longitud de onda que se mide en el sentido de la marcha tiene alguna relación con la anchura del pico detectado que se mide perpendicularmente al sentido de la marcha.
Buen punto. Esto se debe a que la partícula no reflejará realmente la onda plana entrante como una onda plana saliente en la dirección opuesta, sino más bien como una onda esférica. En el caso de un objeto extendido es similar. Por eso este fenómeno se estudia como difracción de la luz y no como mera reflexión. En realidad, si el objeto es un cristal, se puede utilizar el patrón de difracción para ver su estructura atómica, lo cual es bastante sorprendente.
Esta puede no ser la respuesta esperada, sin embargo no es cierto si se tiene una fuente de luz de ancho de banda muy estrecho y estable.
Se puede interpolar entre franjas en un interferómetro. Por ejemplo, un interferómetro láser comercial que utiliza una fuente de 633 nm puede alcanzar una resolución de 1 nm.
Incluso si simplemente haces rebotar la luz en el objeto, la trayectoria de ida y vuelta cambia 2 por cada movimiento del objeto.
Hay técnicas adicionales y alternativas que pueden mejorarla considerablemente.
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