Radio numérica de un par de operadores en espacios de Hilbert

Question

Deje $(C,D)$ ser un par de acotado a los operadores lineales en un complejo espacio de Hilbert $E$. La distancia Euclídea operador de radio se define por $$w_e(C,D)=\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\left(|\langle Cx,x \rangle|^2+|\langle Dx,x \rangle|^2\right)^{1/2}.$$ Por otra parte, la siguiente desigualdad se cumple: $$\frac{\sqrt{2}}{4}\|C^*C+D^*D\|^{1/2}\leq w_e(C,D)\leq \|C^*C+D^*D\|^{1/2}.$$

Quiero mostrar que las constantes $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $1$ en las anteriores desigualdades son el mejor posible.

Para la segunda desigualdad, el siguiente ejemplo muestra que tenemos la igualdad:

Deje $(C,D)=(B,B)$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ (operador en $(\mathbb{C}^2,\|\cdot\|)$). Por lo tanto, puedo conseguir $w_e(C,D)=\sqrt{2}$ $\|C^*C+D^*D\|^{1/2}=\sqrt{2}.$

Quiero encontrar a $(C,D)$ tal que $$\frac{\sqrt{2}}{4}\|C^*C+D^*D\|^{1/2}= w_e(C,D).$$

Para un solo operador, tenemos el siguiente teorema:

¿Crees que si $\text{Im}(C)\perp \text{Im}(C^*)$ $\text{Im}(D)\perp \text{Im}(D^*)$ hemos $$\frac{\sqrt{2}}{4}\|C^*C+D^*D\|^{1/2}= w_e(C,D)\,?$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Para tu primera pregunta, considere $$ C = D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}.$ $ entonces el lado izquierdo de la desigualdad primera Lee $$ \frac{\sqrt{2}}{4}\| 2\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\| = \frac{\sqrt{2}}{2}. $ $ para el lado derecho es $$ w_e(C,D) = \sqrt{2} \sup_{\|x\|=1} |\langle \begin{pmatrix}0 \\ x_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}\rangle| = \sqrt{2} \sup_{\|x\|=1} |x_1x_2| = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $ para tu segunda pregunta: considerar $$ C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},$ $ y $Im(C) \perp Im(C^\ast)$ y $Im(D) \perp Im(D^\ast)$ y $$ \frac{\sqrt{2}}{4} \| CC^\ast + DD^\ast\|^{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{4}, \quad w_e(C,D)) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ $