¿Un contraejemplo a una declaración de Grothendieck y Verdier?

Question

En la primera Exposición de SGA4, justo después de la Definición 2.1, leemos

(1) Para la variable $G,\ \varprojlim G$ es un functor de la categoría $\text{Funct}(I,\mathcal C)$$\widehat{\mathcal C}$.

(En francés: "Pour $G$ variable, $\varprojlim G$ est un foncteur de la categoría $\text{Fonct}(I,\mathcal C)$ à valeurs dans $\widehat{\mathcal C}$.")

Recordemos que $\mathcal U$ es un universo vacío, $\mathcal C$ $\mathcal U$- categoría, $X$ un objeto de $\mathcal C$, $I$ un $\mathcal U$-categoría pequeña, y $\varprojlim G$ está definido por $$ \left(\varprojlim G\right)(X):=\text{Hom}_{\text{Func.}(I,\mathcal C)}(k_X,G). $$ Para encontrar un contraejemplo a (1) es suficiente para encontrar un triple $(\mathcal U,\mathcal C,X)$ donde $\mathcal U$ es un universo, $\mathcal C$ $\mathcal U$- categoría de pequeña y $X$ un objeto de $\mathcal C$ tal que

(2) $\text{End}_{\text{Funct}(\mathcal C,\mathcal C)}(k_X)\notin\mathcal U$.

A mí me parece el siguiente proporciona un contraejemplo.

Deje $\mathcal U$ ser un universo vacío y $X$ un conjunto tal que

(3) $X\notin\mathcal U$,

y definir la categoría de " $\mathcal C$ por $$ \text{Ob}(\mathcal C) :=\{X\}=:\text{End}_{\mathcal C}(X). $$

Tenemos $$ \text{id}_{k_X}\in\text{End}_{\text{Func.}(\mathcal C,\mathcal C)}(k_X)\subconjunto\prod_{Y\in\{X\}}\text{End}_{\mathcal C}(X) $$ $$ =\prod_{Y\in\{X\}}\{X\}= \{\{(X,X)\}\} $$ y así

(4) $\text{End}_{\text{Funct}(\mathcal C,\mathcal C)}(k_X)=\{\{(X,X)\}\}$.

Aquí está una observación general:

(5) Para cualquier conjunto $Y$ tenemos $Y\in\mathcal U$ si y sólo si hay una cadena $$ Y=Y_0\en Y_1\en\cdots\en Y_n=\mathcal U $$ con $n\ge1$.

Ahora (2) se sigue de (3), (4) y (5).

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Creo que efectivamente hay un problema con esa definición.

Una manera fácil de solucionarlo es definir $\varprojlim G$, en cambio, como la presheaf $$X \longmapsto h_{\mathcal U}(G)(k_X)$$ donde $h_{\mathcal U}(G)$ se define como en la Construcción de la Definición 1.3. Observe que $$h_{\mathcal U}(G)(k_X) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Funct}(I, \mathcal C)}(k_X, G)$$ cuando el hom-set es una $\mathcal U$, de modo que la definición moralmente está de acuerdo con una determinada. Pero ahora, en su contraejemplo tenemos que $$\left (\varprojlim k_X \right)(X) = h_{\mathcal U}(k_X)(k_X) = \tau_Z R(Z)$$ donde $R(Z, X)$ es la relación "$Z$ es el objetivo de un isomorfismo $\mathrm{End}_{\mathrm{Funct}(\mathcal C, \mathcal C)}(k_X) \xrightarrow{\sim} Z$", y así por el axioma $(\mathcal U\, B)$ se sigue que $\left (\varprojlim k_X \right )(X) \in \mathcal U$ (porque claramente no existe un $Z \in \mathcal U$ tal que $\{ \{ (X, X) \} \} \simeq Z$, incluso si $X \notin \mathcal U$).