Estabilidad cuando los valores propios son cero: $x' = -x + y + x^2 + ax^3, \space y' = x - y + x^2 + bxy + y^3$

Question

Ejercicio :

Determinar la estabilidad de $O(0,0)$ para el sistema de ecuaciones diferenciales: $$x' = -x + y + x^2 + ax^3$$ $$y' = x - y + x^2 + bxy + y^3$$

Discusión :

Encontrar la matriz del sistema linealizado (el Jacobiano), obtenemos :

$$J(x,y) = \begin{bmatrix} -1 + 2x + 3ax^2 &1 \\ 1 + 2x + by& -1 + bx +3y^2 \end{bmatrix}$$

y la matriz en $O(0,0)$ es :

$$J(0,0) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$$

Encontrar los autovalores de la matriz a proceder con la determinación de su estabilidad, obtenemos :

$$\det(J(0,0)-λI) = 0 \Rightarrow\dots \Rightarrow λ(λ+2) = 0 \Leftrightarrowλ=-2 \space \text{or} \space λ =0$$

Mi pregunta es, ¿cómo proceder en el caso de un autovalor cero, lo que significa que $λ_1 \cdot λ_2 = 0$ ?

Yo sé una manera de eludir este tema es el de convertir a coordenadas polares, que se puede hacer bastante sencilla pero que no llevan a ninguna parte claro en este ejemplo concreto.

El sistema también puede ser resuelto por lo que no se pueden trabajar libremente por este camino (obviamente).

Por último, he descubierto 1-2 teoremas de trabajo sobre el teorema de la función implícita para probar un caso fuerte a través de ella, pero incluyen la hipótesis y la asistencia de la función que es un desastre total.

Realmente agradecería la ayuda de nadie sobre cómo proceder en estos problemas donde estamos atascados con un autovalor cero.

Answer 1

Cuando hay algunos autovalores cero y no positivo autovalores del Jacobiano, la estabilidad es la del flujo a lo largo del centro del colector. Así que lo que hay que hacer (y este es el canon para este tipo de problemas) es encontrar la ecuación en el centro del colector (más precisamente, en cualquier centro de colector en caso de que él no es el único).

¿Cómo hacer eso? Primer pase a las coordenadas $$u=x+y,\quad v=x-y$$ (their axes are tangent to the stable and center spaces). After writing the equation in the form $$u'=P(u,v),\quad v'=Q(u,v),$$ the second equation along the center manifold will give the stability (which doesn't change with the change of variables). We start like this: write the graph of the center manifold as $$u=cv^2+dv^3+\cdots,$$ substitute in the first equation, deduce from the equation $$(cv^2+dv^3+\cdots)'=P(cv^2+dv^3+\cdots,v)$$ what are $c,d,\ldots$ (just equate equal powers) and replace that in the second equation $$v'=Q(cv^2+dv^3+\cdots,v)$$ now already the constants $c,d,\ldots$ que usted determina. La estabilidad del origen de esta ecuación será la estabilidad del origen de la ecuación original.