El grado del polinomio disminuye mínima al límite

Question

$A \mapsto \mu_A$ (polinomio mínimo de la matriz de $A$) no es continua.

Tomemos por ejemplo $A_n =\begin{pmatrix} 0 & 1/n\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $.

Pero creo:

si satisface a $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ $A_n \to A$ (lo que la norma es porque la dimensión es finita) y si suponemos que todos los % y $\mu_{A_n}$ $\mu_A$existen, entonces:

$\exists \ n_0, \ \forall \ n ≥ n_0,$ deg $(\mu_A) ≤ $deg $(\mu_{A_n})$

¿Tienes una sugerencia para demostrar que?

Answer 1

Apuesto a que este funciona: primero mostrar que (en cualquier espacio vectorial normado) si $x_1,\dots,x_n$ es independiente entonces existe $\epsilon>0$ tal eso si $||x_j-y_j||<\epsilon$ % todo $j$y $y_1,\dots,y_n$ es independiente. Se aplican a $I,A,A^2,\dots$.

Answer 2

Suponga que el resultado necesario es falso.

Hay una larga (señalar de nuevo $(A_n)$).t. $(A_n)$ tiende a $A$ y, para cada $n$, $degree(\mu_{A_n})<degree(\mu_A)$. Considerando un nuevo larga, podemos suponer que la $degree(\mu_{A_n})$ es una constante $1\leq r<degree(\mu_A)$, $\mu_{A_n}(x)=x^r+\sum_{i=0}^{r-1} a_{n,i}x^i$.

Por otro lado, los autovalores de a $(A_n)$ son uniformemente acotadas (para $n$ lo suficientemente grande) por $\rho(A)+1$. Por lo tanto, el $(|a_{n,i}|)_{n,i}$ están delimitadas por una real $M>0$.

Considerando un nuevo larga, podemos suponer que, para cada $i$, la secuencia de $(a_{n,i})_n$ converge a una real $a_i$. Podemos deducir que la secuencia de $(\mu_{A_n})_n$ converge a la polinomio $\mu(x)=x^r+\sum_{i=0}^{r-1}a_ix^i$.

Finalmente, $\mu_{A_n}(A_n)=0$ converge a $\mu(A)=0$ $\mu_A$ divide $\mu$, una contradicción.