Alternar la suma y la resta de raíces cuadradas

Question

Me encontré con un problema, para encontrar la parte entera de: $$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} +...+\frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$$ .

Multipliqué el conjugado de cada denominador. Es decir, para $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ , multiplico $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Me sale $\sqrt{100} - \sqrt{99} + \sqrt{98} - \sqrt{97} + ... + \sqrt{2} - \sqrt{1}$ . Estoy atascado aquí. ¿Cómo puedo simplificar esto? ¿O es que mi método es incorrecto?

Answer 1

Para una aproximación, podríamos empezar (utilizando una notación no adoptada generalmente, pero no desconocida) con $$H^{(-1/2)}_n=1 + \sqrt{2} + \ldots + \sqrt{n}=\frac{2}{3}n^{3/2} + \frac{\sqrt{n}}{2} + \zeta\left(-\frac12\right)+o(1),$$ mencionado en esta pregunta ( $\zeta$ es el famoso Función zeta de Riemann ).
Entonces, $$\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1}\pm\ldots=-H^{(-1/2)}_{2n}+2\sqrt{2}\,H^{(-1/2)}_n=\frac12\sqrt{2n}+(2\sqrt{2}-1)\,\zeta\left(-\frac12\right)+o(1).$$ Para $n=50$ el término principal sería $\displaystyle5+(2\sqrt{2}-1)\,\zeta\left(-\frac12\right)=4.619895\ldots$ mientras que la suma original es $4.6323951\ldots$ como ha señalado @Henry, ya, $\displaystyle(2\sqrt{2}-1)\,\zeta\left(-\frac12\right)=-0.380105\ldots$ siendo un poco más preciso. El error (del orden $O(1/n)$ ) no es una sorpresa.

Answer 2

Queremos encontrar la parte entera de $\sum_{x=1}^{50} f(x)$ donde $f(x) = \sqrt{2x}-\sqrt{2x-1}$ .

Para disminuir $f(x)$ , $$\int_a^{b+1} f(x) \; dx < \sum_{x=a}^b f(x) < \int_{a-1}^b f(x) \; dx$$ (Puede ser útil hacer un croquis para ver esto).

Es más fácil trabajar con la suma de $x=2$ a $50$ en lugar de $x=1$ a 50 porque $f(x)$ no se define cuando $x=0$ . Podemos ajustar la falta de $x=1$ término más tarde.

Por cálculo elemental, $$\int f(x) \; dx = \frac{1}{3} (2x)^{3/2} - \frac{1}{3} (2x-1)^{3/2} + C$$ así que $$\int_2^{51} f(x) \; dx < \sum_{x=2}^{50} f(x) < \int_{1}^{50} f(x) \; dx$$ rinde $$4.10 < \sum_{x=2}^{50} f(x) < 4.38$$ Ahora, para ajustar la falta de $x=1$ término. Dado que $$\sum_{x=2}^{50} f(x) + \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sum_{x=1}^{50} f(x)$$ tenemos $$4.10 + \sqrt{2} - \sqrt{1} < \sum_{x=1}^{50} f(x) < 4.38 + \sqrt{2} - \sqrt{1}$$ que da como resultado $$4.51 < \sum_{x=1}^{50} f(x) < 4.79$$ por lo que la parte entera de la suma es $\boxed{4}$ .

Answer 3

$$\frac {1}{\sqrt n +\sqrt {n+1}} = \sqrt {n+1} - \sqrt {n}$$

Por lo tanto, la suma de dsire es $ A-B$ donde,

$$A= \sqrt 100+\sqrt 98 +....+\sqrt 2 = 338.047...$$ y $$B=\sqrt 99+\sqrt 97 +....+\sqrt 1 = 333.415....$$ Así, [A-B]=4