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Probabilidad de ganar una elección y perder el voto popular: electores de tamaño 3

Supongamos que vivimos en un país con un interesante sistema electoral: cada electorado tiene exactamente 3 votantes. 2 partes de ejecutar para office, y cada votante tiene un 50/50 de probabilidades de votar por cada una de las partes. Quien gana la mayoría de los electores que gane la elección general. Dado un número arbitrariamente grande de los electorados, ¿cuál es la probabilidad de que el partido que ganó la elección perdido el voto popular? (Esta es una versión específica de mi pregunta anterior la Probabilidad de ganar una elección, mientras que la pérdida de la votación popular)

Mi 'fuerza bruta' equipo modelo da una respuesta muy cercana a 1/6. ¿Alguien tiene ideas de cómo resolver este problema analíticamente?

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Himanshi Puntos 11

La limitación de probabilidad es, de hecho,$\frac{1}{6}$.

Llamar a los dos candidatos $A$$B$. Para $0\leq i\leq 3$, definir variables aleatorias $X_i$ dependiendo de un azar del distrito $$ X_i=\begin{cases}1&:\text{exactly %#%#% votes for %#%#% in that district},\\ 0&:\text{otherwise}. \end{casos} $$ El multivariante teorema central del límite implica que a medida que el número de distritos $i$ va al infinito, los números de $A$ de los distritos para que $n$ se distribuyen como una multivariante de la distribución Gaussiana. Estamos interesados en la probabilidad de que $N_i$ $X_i=1$ tienen el signo opuesto. La probabilidad es igual a $N_0+N_1-N_2-N_3$ veces el arcocoseno de la correlación entre el$3N_0+N_1-N_2-3N_3$$1/\pi$. La correlación puede ser calculada usando $X_0+X_1-X_2-X_3$, y la correlación es $3X_0+X_1-X_2-3X_3$. Así que la probabilidad deseada es $$ \frac{\cos^{-1}(\sqrt{3}/2)}{\pi}=\frac{1}{6}. $$

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