Encontrar la suma de los inversos de raíces cuadradas.

Question

Problema: Encontrar la parte entera de %#% $ #%

¿Cómo debo ir sobre esta cuestión? Nunca he visto una pregunta anterior, donde no se puede multiplicar cualquier conjugado o alguna. ¿Qué es el método para acercarse a este tipo de problemas?

Answer 1

Para un enfoque de precálculo (telescópico). Observe que % $ $$\frac{1}{\sqrt n}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$#% de este #% y también %#% $ #% dejando el caso de $$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt{1000^2}}\geq 2(\sqrt 2-1+\sqrt 3-\sqrt 2+\cdots+\sqrt{1000^2+1}-\sqrt{1000^2})\geq 2\sqrt{1000^2+1}-2>2000-2=1998$ solo obtenemos $$\frac{1}{\sqrt n}\leq\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt n-\sqrt{n-1})$ $

Y se deduce que la parte entera es $n=1$

Answer 2

Por la integración de

$$\frac1{\sqrt x}\le\frac1{\sqrt{\lfloor x\rfloor}}<\frac1{\sqrt{x-1}}$$

se establece una fórmula para la cola de la suma,

$$\int_m^{n+1}\frac{dx}{\sqrt x}\le\sum_{k=m}^n\frac1{\sqrt n}<\int_m^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x-1}},$$ o

$$2(\sqrt{n+1}-\sqrt m)\le\sum_{k=m}^n\frac1{\sqrt n}<2(\sqrt n-\sqrt{m-1}).$$

Entonces, por la suma completa

$$\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{\sqrt n}+2(\sqrt{n+1}-\sqrt m)\le\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt n}<\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{\sqrt n}+2(\sqrt n-\sqrt{m-1}).$$

Podemos calcular el horquillado para aumentar el $m$, y resulta que $m=2$ es suficiente para establecer

$$1998.17257288\le S<1999.0$$

Por lo tanto, $$\color{green}{1998}.$$

---

Para la seguridad, con $m=3$,

$$1998.24400517\le S<1998.87867966$$

---

Fundamento del método:

Una integral se aproxima a una suma por cuanto el valor de la función sigue siendo lo suficientemente constante en la unidad de intervalos. En el caso de la inversa de la raíz cuadrada, el error por intervalo es

$$\frac1{\sqrt{n+1}}-\frac1{\sqrt n}=O(n^{-3/2}),$ $ , que disminuye de forma relativamente rápida. Así que hay alguna esperanza de que mediante la combinación de un directo que la suma de los primeros términos y el horquillado de la cola, podemos terminar con los dos límites en la misma unidad de intervalo, de modo que sabemos que la parte entera. (La última términos no será un problema ya que corresponden a un pequeño error.)

Tenemos mucha suerte de aquí como la unidad de intervalo se encuentra con muy pocos términos.

---

Dado que el ancho de la bracketing

$$2(\sqrt n-\sqrt{n+1}+\sqrt m-\sqrt{m-1}),$$ podemos concluir tan pronto como la suma parcial difiere de un entero por más que esta cantidad. Y la primera parial sumas son aproximadamente

$$1,1.71,2.28,2.78,3.23\cdots$$

que dejan un buen margen.

Answer 3

Si sabes de armónica generalizada números $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 {\sqrt k}=H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}$ $ ahora, usando la multicelular $$ S_n = 2 \sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right) + \frac1 {2\sqrt {{n}}} + O\left (\frac {1} {n ^ {3/2}} \right) $$ where $\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx-1.46035$.

Por lo tanto, si $n=10^6$, la aproximación da su suma $\approx \zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4000001}{2000}\approx 1998.54$ mientras que el riguroso cálculo daría... el mismo valor!