Encontrar la suma de las inversiones de las raíces cuadradas.

Question

Problema: Encuentra la parte entera de $$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} +...+\frac{1}{\sqrt{1000000}}$$

¿Cómo debería abordar esta pregunta? Nunca he visto una pregunta así antes, donde no puedes multiplicar por ningún conjugado o similar. ¿Cuál es el método para abordar este tipo de problemas?

Answer 1

Para un enfoque de pre cálculo (telescópico). Observe que $$\frac{1}{\sqrt n}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$ A partir de esto $$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt{1000^2}}\geq 2(\sqrt 2-1+\sqrt 3-\sqrt 2+\cdots+\sqrt{1000^2+1}-\sqrt{1000^2})\geq 2\sqrt{1000^2+1}-2>2000-2=1998$$ Y también $$\frac{1}{\sqrt n}\leq\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt n-\sqrt{n-1})$$ Dejando el caso $n=1$ solo obtenemos $$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt{1000^2}}<1+2(\sqrt 2-1+\sqrt 3-\sqrt 2+\cdots \sqrt{1000^2}-\sqrt{1000^2-1})=1+2\sqrt{1000^2}-2=1999$$

Y se sigue que la parte entera es $1998$

Answer 2

Mediante la integración de

$$\frac1{\sqrt x}\le\frac1{\sqrt{\lfloor x\rfloor}}<\frac1{\sqrt{x-1}}$$

establecemos una fórmula para la cola de la suma,

$$\int_m^{n+1}\frac{dx}{\sqrt x}\le\sum_{k=m}^n\frac1{\sqrt k}<\int_m^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x-1}},$$ o

$$2(\sqrt{n+1}-\sqrt m)\le\sum_{k=m}^n\frac1{\sqrt k}<2(\sqrt n-\sqrt{m-1}).$$

Luego, para la suma completa

$$\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{\sqrt k}+2(\sqrt{n+1}-\sqrt m)\le\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}<\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{\sqrt k}+2(\sqrt n-\sqrt{m-1}).$$

Podemos calcular el encajonamiento para aumentar $m$, y resulta que $m=2$ es suficiente para establecer

$$1998.17257288\le S<1999.0$$

Por lo tanto, $$\color{green}{1998}.$$

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Para mayor seguridad, con $m=3$,

$$1998.24400517\le S<1998.87867966$$

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Razonamiento del método:

Una integral aproxima una suma en la medida en que el valor de la función permanece suficientemente constante en intervalos unitarios. En el caso de la raíz cuadrada inversa, el error por intervalo es

$$\frac1{\sqrt{n+1}}-\frac1{\sqrt n}=O(n^{-3/2}),$$ que disminuye relativamente rápido. Por lo tanto, hay alguna esperanza de que al combinar una suma directa de los primeros términos y un encajonamiento de la cola, podamos terminar con los dos límites en el mismo intervalo unitario para que sepamos la parte entera. (Los últimos términos no serán un problema ya que corresponden a un error mínimo.)

Aquí tenemos bastante suerte ya que el intervalo unitario se encuentra con muy pocos términos.

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Dado que el ancho del encajonamiento es

$$2(\sqrt n-\sqrt{n+1}+\sqrt m-\sqrt{m-1}),$$ podemos concluir tan pronto como la suma parcial difiera de un entero en más de esa cantidad. Y las sumas parciales tempranas son aproximadamente

$$1,1.71,2.28,2.78,3.23\cdots$$

lo que deja un buen margen.

Answer 3

Si conoces sobre números armónicos generalizados $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 {\sqrt k}=H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}$$ Ahora, usando la asintótica $$S_n=2 \sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac1 {2\sqrt{{n}}}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ donde $\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx -1.46035$.

ENTONCES, si $n=10^6$, la aproximación da para tu suma $\approx \zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4000001}{2000}\approx 1998.54$ mientras que el cálculo riguroso daría ... ¡el mismo valor!

Editar (cinco años después)

Para responder a una pregunta hecha en privado, considerando el caso más general de $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 {\sqrt[a] k}=H_n^{\left(\frac{1}{a}\right)}$$ usando la asintótica $$\color{blue}{n^{\frac{1}{a}} \left(S_n-\zeta \left(\frac{1}{a}\right)\right)=}$$ $$\color{blue}{\frac{a n}{a-1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12 a n}+\frac 1{720}\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\, \frac{\prod_{m=1}^{2k} (a m+1) } {\alpha_k\,(an)^{2k+1} }}$$

donde el $\alpha_k$ forman la secuencia $$\{1,42,1680,66528,1816214400,103783680,14820309504000,\cdots\}$$

Multiplicados por $720$, los encontrarás en la secuencia $A060055$ en $OEIS$.