¿Si $f$ es diferenciable y acotada y no $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ existe?

Question

Que $f$ ser diferenciable y acotada y $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$. Quiero saber si existe $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$.

Es fácil (con MVT) mostrar que $\lim\limits_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))=0$, y otras cuestiones (por ejemplo, aquí) muestran que $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=0$. Mi intuición dice que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ debe existir, pero eso no significa nada.

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(x)=\sin(\ln x)$. $f'(x)=\frac{1}{x}\cos(\ln x)$. Ahora$f'(x)\to 0$$x\to\infty$, e $f(x)$ es acotado, sino $\lim_{x\to\infty}f(x)$ no existe.

Edit: siento que debería abundar en la idea subyacente de la solución.

La idea es que el $\ln x$ va al infinito, por lo $\sin(\ln x)$ continuará a oscilar, pero $\lim_{x\to\infty} \frac{d}{dx}\ln x = 0$, y el derivado de la $\sin(\ln x)$ está limitada por la derivada de la $\ln x$.

Para obtener una mejor contraejemplo de la función, dicen que uno que se define en todos los de $\mathbb{R}$, y diferenciable en todas partes, podemos elegir una mejor función de $\ln x$, $g$, tal que $\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty$ pero $\lim_{x\to\infty} g'(x)=0$. Por ejemplo, vamos a $h(x)=x^3+x$. $h$ es bijective, con derivado $3x^2+1$, por lo que su inverso $g$ ha derivado $\frac{1}{3x^2+1}$ satisface las propiedades deseadas en el infinito y se define en $\mathbb{R}$ y diferenciable en todas partes. Así, con esta definición de $g$, $\sin g(x)$ da una mejor contraejemplo.