Eso es correcto uso de las definiciones estándar. Es muy similar a la estructura de Euclides del teorema de que existen infinitos números primos. Creo que el mayor sutileza la mayoría de los matemáticos tenemos con ella es que no especifican claramente sus axiomas.
Podríamos, por ejemplo, un objeto, un "Paso 3, se dice que n+1 > n. Pero ¿por qué tiene que ser diferente de 0, 1, 2 y así sucesivamente hasta n-1? No podría ser igual a algún otro número natural?" Si decimos, bien, vamos a definir más que como transitivo, lo que implica no-igual", Entonces ¿cómo sabemos que una función como la que existe en los números naturales? Un montón de funciones que podemos hablar no, como el cuadrado de la raíz."
Para responder eso, tendríamos que definir nuestros axiomas más claramente. La primera real de la formalización de los números naturales que todavía se enseña en la actualidad se aritmética de Peano. Un poco-versión modernizada de su axiomas sería:
El cero es un número.
Si una es un número, el sucesor de una es un número.
Cero no es igual que el sucesor de cualquier número.
Dos números de los que los sucesores son iguales son iguales a sí mismos.
Si un conjunto S de números contiene cero y también el sucesor de cada número en S, entonces cada número natural es en S.
La traducción de la notación de Peano, n+1, el sucesor de n. Si utilizamos esta teoría, el axioma 2 nos dice que n+1 existe, axioma 3, nos dice que n+1 no es 0 y el axioma 4 nos dice que n+1 no es 0+1, 1+1, 2+1 o cualquier otro número (n-1)+1. Por lo tanto, se trata de un número diferente de cualquier otra en nuestra lista. Podemos hacer el paso 3 de su prueba de sonido mediante la definición de un>b iff un=b+1 o un>b+1 y, a continuación, muestra que, si un>b, una no es igual a cualquier número de 0 a b. En virtud de estos axiomas, sin embargo, no tenemos que dar ese paso adicional.
Los axiomas de la mayoría de los matemáticos utilizan hoy en día como la fundación de la norma matemáticas son Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Esa teoría se incluye un modelo de la aritmética de Peano donde los números son conjuntos, el cero es el conjunto vacío, el sucesor de un conjunto s es s∪{s}, y dos conjuntos son iguales si contienen todos los elementos de la otra. En esta teoría, tenemos que añadir un axioma que el conjunto que contiene al conjunto vacío y es cerrado bajo la sucesión existe, el Axioma de Infinitud. Si asumimos que en lugar de que no había ningún conjunto infinito, podríamos conseguir un conjunto coherente de teoría, pero no lo podíamos usar para hacer la aritmética de Peano sin llegar a una contradicción.
Hay otras construcciones que a veces voy a ver en que sea "infinito" o "número" tiene un diferente significado formal. La informática teórica, a veces, utiliza la Iglesia números, por ejemplo. Otra definición común de "infinito" es Dedekind infinito, donde un conjunto es infinito si se pueden poner en una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo, como la multiplicación por 2 pone los números naturales en una correspondencia uno a uno con los números. Incluso hay algunos matemáticos que decir que la única objetos matemáticos que "existen" son aquellos que pueden ser construidos en un número finito de pasos, así que si te dicen que algo es "infinito" no debe ser el tipo de cosa en su teoría de las matemáticas está hablando. Así que estaría de acuerdo con usted, hasta que te empieza a decir que "los números naturales", es en sí una entidad bien definida que puede tener propiedades como "infinito".
