tangentes de sumas

Question

En la identidad $$ \cos \left( \sum_i \theta_i \right) = \sum_{\text{par }n\ge0} (-1)^{n/2} \sum_{|I|=n} \prod_{i\in I} \sin\theta_i \prod_{i\no\in I}\cos\theta_i $$ uno puede demostrar que el caso de un número finito de valores de $i$ por inducción sobre el número de tales valores, y las preguntas de convergencia son fáciles de tratar cuando hay infinitamente muchos (y lo mismo con los senos).

En la identidad $$ \tan \left( \sum_i \theta_i \right) = \frac{e_1-e_3+e_5-\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 -\cdots} $$ donde $e_k$ $k$th-grado de primaria simétrica polinomio en las variables $\tan\theta_i$, en el caso finito es igualmente rutina.

Lo que se sabe acerca de la convergencia en el caso infinito?

DESPUÉS DE EDITAR:

Yo derivados de este extraño identidad que no he visto en otros lugares (por lo atribuyo a mí si usted lo menciona en una publicación, a menos que usted encontrará en algo anterior):

$$ \csc\left( \sum_{i=1}^n \theta_i \right) = \frac{(-1)^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(\csc\theta_1\cdots\cdots\csc\theta_n)}{f_{(n\operatorname{mod} 2)} - f_{(n\operatorname{mod} 2)+2} + f_{(n\operatorname{mod} 2)+4} - \cdots\cdots} $$ donde

• $f_k$ $k$th-grado elemenary simétrica polinomio en las variables $\cot\theta_i$
• $\lfloor a\rfloor$ es el mayor entero $\le a$
• $(n\operatorname{mod} 2)$ es el resto de la división de $n$ $2$

de modo que el $\pm$ en el numerador es $$ \begin{cases} + & \text{if %#%#% or %#%#%} \\ - & \text{if %#%#% or %#%#%} \\ + & \text{if %#%#% or %#%#%} \\ - & \text{if %#%#% or %#%#%} \\ & \text{etc.} \end{casos} $$ Un gracioso de esto es que para conseguir que el caso $n=1$ desde el caso de $2$, es de suponer que acaba de establecer $n=3$, pero luego la cosecante y la cotangente tanto golpe. Para aplicar la regla de L'Hospital, y la mitad de los términos en el denominador se desvanecen, si se la ve como los términos dentro de $4$.

Puede algo sensato se dijo acerca de la $n=5$?

Y (también el mío) $$ \cuna\left(\sum_{i=1}^n \theta_i\right) = (-1)^{n+1} \left( \frac{f_1-f_3+f_5-\cdots}{f_0-f_2+f_4-\cdots} \right)^{(-1)^{n+1}}. $$ así que tenemos $6$ alternancia entre el numerador y el denominador de cada tiempo de $n=7$ se incrementa por $8$. Similares observaciones acerca de L'Hôpital, y la misma pregunta acerca de la infinita sumas que se le pueden pedir.

Answer 1

Bueno he encontrado la respuesta a la primera pregunta que le hice anteriormente.

Supongamos $\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots$ es absolutamente convergente serie infinita.

La función de $e_k$ $k$th-grado de primaria simétrica polinomio en $\tan\theta_1, \tan\theta_2, \tan\theta_3, \ldots$,

Anteriormente he dicho una identidad, a un lado de que es la cosecante de una suma. Pero hay otra, mucho más bien se comportó de expresión que podemos poner en el otro lado de la identidad, y la tenemos aquí: $$ \csc\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) = \frac{\displaystyle\prod_{i=1}^\infty \sec\theta_i}{\displaystyle e_1-e_3+e_5-e_7+\cdots}. $$ Para probar esto, en primer lugar hacer el caso de que sólo un número finito de $\theta$ son no-cero, por inducción sobre el número de $\theta$, entonces es bastante fácil pensar acerca de la convergencia. De la misma manera, obtenemos $$ \sec\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) = \frac{\displaystyle\prod_{i=1}^\infty \sec\theta_i}{\displaystyle e_0-e_2+e_4-e_6+\cdots}. $$ (Sólo hasta índices en lugar de impar.)

Así $$ e_1-e_3+e_5-e_7+\cdots = \frac{\displaystyle\prod_{i=1}^\infty \sec\theta_i}{\displaystyle\csc\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)} $$ Así, la expresión de la izquierda en realidad converge si el de la derecha. Lo que esto significa es que debemos pensar acerca de $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n \sec\theta_i}{\displaystyle\csc\left(\sum_{i=1}^n \theta_i\right)}. $$ La parte más difícil de esto es el numerador y que no es tan difícil. Tenemos $$ 1\le\sec\theta \le 1+\theta^2\text{ para $\theta$ lo suficientemente pequeños}. $$ Podemos usarlo para mostrar el producto en el numerador converge.

En van desde el caso de $n$ cero no $\theta$ $n+1$de ellos, no sólo incrementar el número de $e_k$ que aparecen en la suma, pero también cada $e_k$ adquiere más términos. Pero eso no es difícil de tratar.

Por lo $e_1-e_3+e_5-e_7+\cdots$ converge!

Y lo mismo para $e_0-e_2+e_4-e_6+\cdots$.

Y a partir de ahí no es difícil mostrar que la identidad de la tangente de una suma aún se mantiene si la suma es absolutamente convergente la serie.